Válidas as hipóteses do teorema de Picard sobre o retângulo , a solução exata do poblema de valor inicial(PVI)
pode ser aproximada mediante a sequência , onde
Mostra-se que a sequência converge para a solução exata , onde
Verifica-se que
onde
Pelo método da aproximações sucessivas de Picard, determine as aproximações y1, y2 e y3 do PVI
y^prime & =x+y y(0) & =0
no retângulo R=(x, y) ;|x| <= 1,|y| <= 1. Além disso, estime o erro de aproximação
|y(x)-y3(x)|
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método das aproximações sucessivas de Picard. O que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
y^prime = x + y
com a condição inicial y(0) = 0. A ideia do método de Picard é aproximar a solução exata dessa equação por meio de uma sequência de funções. Para isso, vamos precisar usar integrais e entender um pouco sobre séries de aproximações. Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar definindo a primeira aproximação, que chamamos de y1(x). Segundo o método de Picard, a primeira aproximação é a condição inicial:
y0(x) = y(0) = 0
Agora, aplicamos a fórmula de Picard para encontrar y1(x):