Válidas as hipóteses do teorema de Picard sobre o retângulo R= (x, y) ;|x-x0| <= a,|y-y0| <= b, a solução exata (y(x)) do poblema de valor inicial(PVI)
y^prime & =f(x, y), y(x0) & =y0
pode ser aproximada mediante a sequência (yn(x)), n=0,1,2 ldots, onde
yn(x)=y0+integralx0^x f(t, yn-1(t)) d t, (n=1,2, ldots)
Mostra-se que a sequência (yn(x)) converge para a solução exata y(x), x0- alpha, onde
M:=max (x, y) in Re|f(x, y)|, h:=min (a, bM)
Verifica-se que
|y(x)-yn(x)| <= M cdot N^n-1n! h^n
onde
N=max (x, y) in R|partial fpartial y|
Pelo método da aproximações sucessivas de Picard, determine as aproximações y1, y2 e y3 do PVI
y^prime & =x+y y(0) & =0
no retângulo R=(x, y) ;|x| <= 1,|y| <= 1. Além disso, estime o erro de aproximação
|y(x)-y3(x)|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método das aproximações sucessivas de Picard. O que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
y^prime = x + y
com a condição inicial y(0) = 0. A ideia do método de Picard é aproximar a solução exata dessa equação por meio de uma sequência de funções. Para isso, vamos precisar usar integrais e entender um pouco sobre séries de aproximações. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo a primeira aproximação, que chamamos de y1(x). Segundo o método de Picard, a primeira aproximação é a condição inicial:
y0(x) = y(0) = 0
Agora, aplicamos a fórmula de Picard para encontrar y1(x):
y1(x) = y0 + integral0^x f(t, y0(t)) , dt
Substituindo f(t, y) = t + y e y0(t) = 0:
y1(x) = 0 + integral0^x (t + 0) , dt = integral0^x t , dt = x^22
Então, a primeira aproximação é:
y1(x) = x^22

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda aproximação y2(x) usando y1(x):
y2(x) = y0 + integral0^x f(t, y1(t)) , dt
Substituindo f(t, y) = t + y e y1(t) = t^22:
y2(x) = 0 + integral0^x ( t + t^22 ) , dt = integral0^x t , dt + 12 integral0^x t^2 , dt
Calculando as integrais:
y2(x) = x^22 + 12 cdot x^33 = x^22 + x^36
Então, a segunda aproximação é:
y2(x) = x^22 + x^36

Passo 4

Vamos para a terceira aproximação y3(x) usando y2(x):
y3(x) = y0 + integral0^x f(t, y2(t)) , dt
Substituindo f(t, y) = t + y e y2(t) = t^22 + t^36:
y3(x) = 0 + integral0^x ( t + t^22 + t^36 ) , dt
Calculando as integrais:
y3(x) = integral0^x t , dt + 12 integral0^x t^2 , dt + 16 integral0^x t^3 , dt
y3(x) = x^22 + 12 cdot x^33 + 16 cdot x^44 = x^22 + x^36 + x^424
Então, a terceira aproximação é:
y3(x) = x^22 + x^36 + x^424

Passo 5

Agora, vamos estimar o erro da aproximação y3(x). Segundo o enunciado, a estimativa do erro é dada por:
| y(x) - yn(x) | <= M cdot N^n-1n! h^n
Onde:
  • M = max(x, y) in R |f(x, y)| = max |x + y| <= 2
  • N = max(x, y) in R | partial fpartial y | = max |1| = 1
  • h = min(a, bM) = min(1, 12) = 0.5
  • n = 3
Substituindo os valores:
| y(x) - y3(x) | <= 2 cdot 1^23! cdot (0.5)^3 = 26 cdot 0.125 = 13 cdot 0.125 = 124 approx 0,0417

Resposta

As aproximações pelo método de Picard são:
y1(x) = x^22
y2(x) = x^22 + x^36
y3(x) = x^22 + x^36 + x^424
E a estimativa do erro é:
| y(x) - y3(x) | <= 124 approx 0,0417

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