Encontre a solução geral da equação diferencial em cada caso: y' = x^3 (1 - y)

Passo 1

Estamos vendo uma equação diferencial do tipo . Vamos utilizar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e a técnica de separação de variáveis para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma a separar os termos que envolvem y dos que envolvem x. Começamos substituindo por :
Agora, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por para separar as variáveis:

Passo 3

Em seguida, integramos ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve y e a do lado direito envolve x:
A integral de em relação a y é , e a integral de x^3 em relação a x é :
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver para y. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos simplificar a constante como apenas C:

Passo 5

Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Como é apenas uma constante, podemos chamar de K:

Resposta

Finalmente, isolamos y para obter a solução geral:
onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados