Encontre a solução geral da equação diferencial em cada caso:
Passo 1
Estamos vendo uma equação diferencial do tipo
. Vamos utilizar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e a técnica de separação de variáveis para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma a separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Começamos substituindo
por
:
Agora, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
para separar as variáveis:
Passo 3
Em seguida, integramos ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve
e a do lado direito envolve
:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Podemos simplificar a constante
como apenas
:
Passo 5
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Como
é apenas uma constante, podemos chamar de
:
Resposta
Finalmente, isolamos
para obter a solução geral:
onde
é uma constante arbitrária.