Encontre a solução geral da equação diferencial em cada caso:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, que pode ser resolvida usando técnicas de separação de variáveis ou fator integrante. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar e .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar os termos com de um lado e os termos com do outro. A equação original é:
Podemos reescrever isso como:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral da esquerda envolve e a da direita envolve :
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Onde é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos resolver para . Temos:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Podemos simplificar para apenas :
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Finalmente, isolamos para obter a solução geral:
Onde é uma constante que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.