Encontre a solução geral da equação diferencial em cada caso:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, que pode ser resolvida usando técnicas de separação de variáveis ou fator integrante. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar os termos com de um lado e os termos com do outro. A equação original é:
Podemos reescrever isso como:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral da esquerda envolve e a da direita envolve :
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Temos:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Podemos simplificar para apenas :
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Finalmente, isolamos para obter a solução geral:
Onde é uma constante que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Encontre a solução geral da equação diferencial em cada caso:
Determine o domínio de cada uma das funções abaixo e esboce tal domínio no plano :
Vamos supor que temos um tanque de capacidade fixa cheio de uma solução completamente misturada de alguma substância. Uma solução de uma dada concentração entra no tanque a taxa fixa e a mistura, bem agitada, sai a uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada. Se denota a quantidade de substância no tanque no instanante , então é a taxa na qual a substância está sendo adicionada menos a taxa na qual ela está sendo retirada. Isto é,
í
Com essa informação considere a seguinte situação:
Um tanque contém 15 kg de sal dissolvido em 3000 L de água. Água salgada com 0.01 Kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de . A solução é misturada completamente e sai do tanque com uma taxa de . Qual a quantidade de sal que permanece no tanque após 25 minutos?
Válidas as hipóteses do teorema de Picard sobre o retângulo , a solução exata do poblema de valor inicial(PVI)
pode ser aproximada mediante a sequência , onde
Mostra-se que a sequência converge para a solução exata , onde
Verifica-se que
onde
Pelo método da aproximações sucessivas de Picard, determine as aproximações e do PVI
no retângulo . Além disso, estime o erro de aproximação