Vamos supor que temos um tanque de capacidade fixa cheio de uma solução completamente misturada de alguma substância. Uma solução de uma dada concentração entra no tanque a taxa fixa e a mistura, bem agitada, sai a uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada. Se y(t) denota a quantidade de substância no tanque no instanante t, então y'(t) é a taxa na qual a substância está sendo adicionada menos a taxa na qual ela está sendo retirada. Isto é,
dy/dt = (taxa de entrada) - (taxa de saída)í
Com essa informação considere a seguinte situação:
Um tanque contém 15 kg de sal dissolvido em 3000 L de água. Água salgada com 0.01 Kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 18 L / min. A solução é misturada completamente e sai do tanque com uma taxa de 20 L / min. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque após 25 minutos?

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão nos apresenta. Temos um tanque com capacidade fixa, inicialmente contendo 15 kg de sal dissolvido em 3000 litros de água. Água salgada com concentração de 0,01 kg de sal por litro está entrando no tanque a uma taxa de 18 litros por minuto. A mistura sai do tanque a uma taxa de 20 litros por minuto. Queremos descobrir quanto sal resta no tanque após 25 minutos.
Estamos lidando com um problema de mistura, onde precisamos usar equações diferenciais para modelar a quantidade de sal no tanque ao longo do tempo.

Passo 2

Vamos definir como a quantidade de sal no tanque no instante .
A taxa de variação de em relação ao tempo é dada pela diferença entre a taxa de entrada de sal e a taxa de saída de sal:
í

Passo 3

Primeiro, calculamos a taxa de entrada de sal. A água que entra tem uma concentração de 0,01 kg/L e está entrando a 18 L/min. Então:

Passo 4

Agora, calculamos a taxa de saída de sal. A concentração de sal na mistura do tanque é kg/L, já que o volume do tanque é constante em 3000 litros.
A taxa de saída é a concentração multiplicada pela taxa de saída de água:
í

Passo 5

Substituímos as taxas de entrada e saída na equação diferencial:

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos resolvê-la usando um fator integrante. A forma geral da equação é:
Onde:
O fator integrante é dado por:

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 8

Integramos ambos os lados em relação a :
Calculando a integral:
Portanto:

Passo 9

Resolvendo para :

Passo 10

Aplicamos a condição inicial: quando , kg.
Substituindo na solução:
Portanto, a solução da equação é:

Passo 11

Agora, calculamos :
Calculando :

Resposta

Após 25 minutos, aproximadamente 16,84 kg de sal permanecem no tanque.

Exercícios relacionados