Qual o valor da área da região delimitada pela curva y = 3^(-x), o eixo x e a reta x = 2 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está delimitada pela curva , pelo eixo e pela reta . Para isso, vamos usar o conceito de Cálculo Integral, que é muito usado para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Essa função é uma exponencial decrescente porque a base, 3, elevada a uma potência negativa, faz com que os valores de diminuam conforme aumenta.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. A área está entre o eixo (que é ) e a reta . Então, vamos integrar a função de até .

Passo 4

Para achar a área, usamos a integral definida da função entre 0 e 2. A integral vai nos dar a área desejada.

Passo 5

Vamos calcular a integral de em relação a :
Sabemos que a integral de é , então aplicando isso aqui:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de 0 a 2 na antiderivada que encontramos:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Resposta

A área da região delimitada pela curva , pelo eixo e pela reta é:

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