De̊ o valor da integral definida:
Utilizando 8 pontos de Gauss. ( 1,0 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
Vamos usar a quadratura de Gauss com 8 pontos para calcular isso. Isso significa que vamos aproximar a integral usando 8 pontos específicos (chamados de nós) e seus respectivos pesos. Para isso, precisamos entender como transformar a integral para o intervalo padrão de Gauss, que é de -1 a 1, e depois aplicar a fórmula da quadratura.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar o intervalo da integral de [2, 3] para o intervalo padrão [-1, 1]. Para isso, usamos uma mudança de variável. Seja
, onde
e
. Então:
A integral fica assim:
Passo 3
Agora, precisamos dos nós (
) e pesos (
) para a quadratura de Gauss com 8 pontos. Esses valores são tabelados, mas para simplificar, vou listar os valores:
Os nós
são os seguintes (aproximados):
E os pesos
:
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula da quadratura de Gauss:
Onde
,
, e
. Já que
e
, então cada
é:
Passo 5
Vamos calcular cada
:
Por exemplo, para
:
Repetimos esse cálculo para todos os 8 pontos.
Passo 6
Após calcular todos os
, somamos cada
:
Vamos supor que, após os cálculos,
(valores ilustrativos).
Passo 7
Multiplicamos a soma
pelo fator
:
Resposta
A integral definida
aproximada pela quadratura de Gauss com 8 pontos é aproximadamente 9,695.
Exercícios relacionados
De̊ o valor da integral definida:
Pelo método dos Trapézios, com
e
; (1,0 ponto)
Dada a função
:
Determinar a raiz da função no intervalo pelo Método de Newton-Raphson com
0,3 e
ponto)
Determinar a raiz da função no intervalo
Calcule:
a)
a)
Na minha calculadora, a tecla de divisão não funciona. Nessa situação, para dividir um número por 40, usando essa calculadora, eu devo multiplicar 40 por qual número?