Dada a função f(x)=-5 x^3+x^2-x+1 :
Determinar a raiz da função no intervalo l=[0,1] pelo Método de Newton-Raphson com x0= 0,3 e E <= 10^-4 ;(0,5 ponto)

Passo 1

Então, a gente tem uma função chamada e precisamos encontrar uma raiz dessa função, ou seja, o valor de que faz . Vamos usar o Método de Newton-Raphson para isso, que é uma técnica para encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para começar, vamos precisar calcular a derivada da função, que é essencial para o método. A gente vai começar com e vai continuar as iterações até que a diferença entre dois valores consecutivos de seja menor ou igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função f'(x) = ddx(-5x^3 + x^2 - x + 1) = -15x^2 + 2x - 1 . A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto , e é fundamental para o Método de Newton-Raphson. Então, derivando :

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Newton-Raphson para encontrar o próximo valor de x1 = x0 - f(x0)f'(x0) . A fórmula é:
f(0,3) = -5(0,3)^3 + (0,3)^2 - 0,3 + 1 = -5(0,027) + 0,09 - 0,3 + 1 = -0,135 + 0,09 - 0,3 + 1 = 0,655
Vamos calcular f'(0,3) = -15(0,3)^2 + 2(0,3) - 1 = -15(0,09) + 0,6 - 1 = -1,35 + 0,6 - 1 = -1,75 e x1 = 0,3 - 0,655-1,75 approx 0,3 + 0,374 = 0,674 com :
Agora, substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos repetir o processo para encontrar f(0,674) = -5(0,674)^3 + (0,674)^2 - 0,674 + 1 approx -5(0,306) + 0,454 - 0,674 + 1 approx -1,53 + 0,454 - 0,674 + 1 approx -0,75 . Primeiro, calculamos f'(0,674) = -15(0,674)^2 + 2(0,674) - 1 approx -15(0,454) + 1,348 - 1 approx -6,81 + 1,348 - 1 approx -6,462 e x2 = 0,674 - -0,75-6,462 approx 0,674 - 0,116 = 0,558 :
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Vamos calcular f(0,558) = -5(0,558)^3 + (0,558)^2 - 0,558 + 1 approx -5(0,174) + 0,311 - 0,558 + 1 approx -0,87 + 0,311 - 0,558 + 1 approx -0,117 . Primeiro, f'(0,558) = -15(0,558)^2 + 2(0,558) - 1 approx -15(0,311) + 1,116 - 1 approx -4,665 + 1,116 - 1 approx -4,549 e x3 = 0,558 - -0,117-4,549 approx 0,558 - 0,026 = 0,532 :
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Agora, vamos calcular f(0,532) = -5(0,532)^3 + (0,532)^2 - 0,532 + 1 approx -5(0,150) + 0,283 - 0,532 + 1 approx -0,75 + 0,283 - 0,532 + 1 approx 0,001 . Primeiro, f'(0,532) = -15(0,532)^2 + 2(0,532) - 1 approx -15(0,283) + 1,064 - 1 approx -4,245 + 1,064 - 1 approx -4,181 e x4 = 0,532 - 0,001-4,181 approx 0,532 + 0,000 = 0,532 :
Aplicando a fórmula:

Resposta

A raiz da função no intervalo encontrada pelo Método de Newton-Raphson é aproximadamente .

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