(Valor: 2 pontos cada item ) Uma máquina produz hastes de metal usadas em um sistema de suspensão de automóvel. Uma amostra aleatória de 15 hastes é selecionada, e o diâmetro é medido. Os dados resultantes (em milímetros) são os seguintes:
Diâmetro (mm)
8.24 8.25 8.20 8.23 8.24
8.21 8.26 8.26 8.20 8.25
8.23 8.23 8.19 8.28 8.24
Responda justificando:
a) construa um intervalo de confiança de 95 % para a média populacional;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma amostra de 15 hastes de metal com os diâmetros medidos, e precisa construir um intervalo de confiança de 95% para a média populacional desses diâmetros. Isso faz parte da estatística, mais especificamente da inferência estatística, onde usamos dados da amostra para fazer afirmações sobre a população. Para isso, vamos precisar calcular a média e o desvio padrão da amostra, além de usar a distribuição t de Student por sermos uma amostra pequena (n < 30).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos diâmetros da amostra. A média ( barx) é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
barx = 8.24 + 8.25 + 8.20 + 8.23 + 8.24 + 8.21 + 8.26 + 8.26 + 8.20 + 8.25 + 8.23 + 8.23 + 8.19 + 8.28 + 8.2415
Calculando isso:
barx = 123.1315 = 8.2087 mm

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra ( s). O desvio padrão nos mostra o quanto os valores estão espalhados em relação à média.
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Primeiro, calculamos cada (xi - barx)^2, somamos todos esses valores e dividimos por n - 1 = 14:
s approx 0.032 mm

Passo 4

Como temos uma amostra pequena (n = 15), usamos a distribuição t de Student. Precisamos encontrar o valor crítico talpha/2 para um intervalo de confiança de 95% e df = n - 1 = 14 graus de liberdade. Consultando a tabela t, encontramos:
t0.025, 14 approx 2.145

Passo 5

Em seguida, calculamos o erro padrão da média ( Ep):
Ep = sraizn = 0.032raiz15 approx 0.0083 mm

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança usando a fórmula:
barx pm talpha/2 times Ep
Substituindo os valores:
8.2087 pm 2.145 times 0.0083
Calculando:
8.2087 pm 0.0178

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média populacional do diâmetro das hastes é aproximadamente de 8.191 mm a 8.226 mm.

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