O valor de x de modo que z=(5x+i).(3-i) seja número real puro é ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de $ x $ de forma que o número complexo $ z = (5x + i) \cdot (3 - i) $ seja um número real puro. Isso está relacionado ao conteúdo de números complexos e multiplicação de números complexos. Para resolver isso, vamos precisar multiplicar os dois números complexos e garantir que a parte imaginária do resultado seja zero.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar os dois números complexos $ (5x + i) $ e $ (3 - i) $. Lembrando que multiplicar números complexos envolve distribuir cada termo:
Passo 3
Vamos calcular cada parte separadamente:
- $ 5x \cdot 3 = 15x $
- $ 5x \cdot (-i) = -5x i $
- $ i \cdot 3 = 3i $
- $ i \cdot (-i) = -i^2 $
Então, juntando tudo:
Passo 4
Sabemos que $ i^2 = -1 $, então substituindo na expressão:
Agora, vamos agrupar os termos reais e imaginários:
Passo 5
Para que $ z $ seja um número real puro, a parte imaginária precisa ser igual a zero. Portanto, vamos igualar a parte imaginária a zero:
Fatorando $ i $:
Como $ i $ não é zero, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação para $ x $:
Resposta
O valor de $ x $ que torna $ z $ um número real puro é $ \boxed{\dfrac{3}{5}} $.