O valor de x de modo que z=(5x+i).(3-i) seja número real puro é ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de $ x $ de forma que o número complexo $ z = (5x + i) \cdot (3 - i) $ seja um número real puro. Isso está relacionado ao conteúdo de números complexos e multiplicação de números complexos. Para resolver isso, vamos precisar multiplicar os dois números complexos e garantir que a parte imaginária do resultado seja zero.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois números complexos $ (5x + i) $ e $ (3 - i) $. Lembrando que multiplicar números complexos envolve distribuir cada termo:
(5x + i)

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. $ 5x \cdot 3 = 15x $
  2. $ 5x \cdot (-i) = -5x i $
  3. $ i \cdot 3 = 3i $
  4. $ i \cdot (-i) = -i^2 $
Então, juntando tudo:
5x cdot 3 = 15x

Passo 4

Sabemos que $ i^2 = -1 $, então substituindo na expressão:
i^2 = -1
Agora, vamos agrupar os termos reais e imaginários:
15x - 5x i + 3i - (-1) = 15x - 5x i + 3i + 1

Passo 5

Para que $ z $ seja um número real puro, a parte imaginária precisa ser igual a zero. Portanto, vamos igualar a parte imaginária a zero:
z
Fatorando $ i $:
-5x i + 3i = 0
Como $ i $ não é zero, temos:
i

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para $ x $:
x

Resposta

O valor de $ x $ que torna $ z $ um número real puro é $ \boxed{\dfrac{3}{5}} $.

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