As medidas, em cm, dos lados de um pentágono estão em Progressão Aritmética (PA). Se o perímetro desse polígono é 125 cm, o terceiro elemento da PA é.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente tem um pentágono cujos lados estão em Progressão Aritmética (PA). O perímetro desse pentágono é 125 cm. Nosso objetivo é descobrir qual é o terceiro elemento dessa PA. Para isso, vamos precisar entender o que é uma PA e como calcular seus termos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma Progressão Aritmética. Uma PA é uma sequência de números onde a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Essa diferença é chamada de “razão” da PA. Por exemplo, na sequência 2, 5, 8, 11, …, a razão é 3 porque cada termo aumenta 3 em relação ao anterior.
Passo 3
Agora, como estamos falando dos lados de um pentágono, que tem 5 lados, esses 5 lados formam nossa PA. Vamos chamar o primeiro termo dessa PA de $ a $ e a razão de $ r $. Então, os lados do pentágono são:
- Primeiro lado: $ a $
- Segundo lado: $ a + r $
- Terceiro lado: $ a + 2r $
- Quarto lado: $ a + 3r $
- Quinto lado: $ a + 4r $
Passo 4
Sabemos que o perímetro do pentágono é a soma de todos os seus lados, que dá 125 cm. Portanto, podemos montar a seguinte equação:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação somando os termos semelhantes. Primeiro, somamos todos os $ a $:
Depois, somamos as razões $ r $:
Então, a equação fica:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 5:
Agora, temos uma relação entre $ a $ e $ r $.
Passo 7
Nos pedem para encontrar o terceiro elemento da PA, que é $ a + 2r $. E olha só, nossa equação acabou mostrando que:
Então, o terceiro elemento da PA é 25 cm.
Resposta
O terceiro elemento da Progressão Aritmética é 25 cm.