As medidas, em cm, dos lados de um pentágono estão em Progressão Aritmética (PA). Se o perímetro desse polígono é 125 cm, o terceiro elemento da PA é.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente tem um pentágono cujos lados estão em Progressão Aritmética (PA). O perímetro desse pentágono é 125 cm. Nosso objetivo é descobrir qual é o terceiro elemento dessa PA. Para isso, vamos precisar entender o que é uma PA e como calcular seus termos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma Progressão Aritmética. Uma PA é uma sequência de números onde a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Essa diferença é chamada de “razão” da PA. Por exemplo, na sequência 2, 5, 8, 11, …, a razão é 3 porque cada termo aumenta 3 em relação ao anterior.

Passo 3

Agora, como estamos falando dos lados de um pentágono, que tem 5 lados, esses 5 lados formam nossa PA. Vamos chamar o primeiro termo dessa PA de $ a $ e a razão de $ r $. Então, os lados do pentágono são:
  • Primeiro lado: $ a $
  • Segundo lado: $ a + r $
  • Terceiro lado: $ a + 2r $
  • Quarto lado: $ a + 3r $
  • Quinto lado: $ a + 4r $

Passo 4

Sabemos que o perímetro do pentágono é a soma de todos os seus lados, que dá 125 cm. Portanto, podemos montar a seguinte equação:
a + (a + r) + (a + 2r) + (a + 3r) + (a + 4r) = 125

Passo 5

Vamos simplificar essa equação somando os termos semelhantes. Primeiro, somamos todos os $ a $:
a
Depois, somamos as razões $ r $:
a + a + a + a + a = 5a
Então, a equação fica:
r

Passo 6

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 5:
a + 2r = 25
Agora, temos uma relação entre $ a $ e $ r $.

Passo 7

Nos pedem para encontrar o terceiro elemento da PA, que é $ a + 2r $. E olha só, nossa equação acabou mostrando que:
a + 2r
Então, o terceiro elemento da PA é 25 cm.

Resposta

O terceiro elemento da Progressão Aritmética é 25 cm.

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