Qual é o valor de que otimiza a área do canteiro?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pergunta qual é o valor de que otimiza a área do canteiro. Isso significa que queremos encontrar o valor de que faz com que a área do canteiro seja a maior possível. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e cálculo de derivadas para otimizar a área.

Passo 2

Primeiro, precisamos estabelecer uma relação entre e as dimensões do canteiro. Vamos supor que o canteiro seja retangular e que ele tenha um perímetro fixo. Digamos que o perímetro seja metros. Se chamarmos o comprimento de metros, então a largura será metros, já que o perímetro de um retângulo é .

Passo 3

Agora, vamos expressar a área do canteiro em função de :
Essa é uma função quadrática do tipo .

Passo 4

Para encontrar o valor de que maximiza a área, vamos calcular a derivada da função em relação a e igualá-la a zero:
Igualando a derivada a zero:

Passo 5

Esse valor de indica que, para maximizar a área do canteiro, o comprimento deve ser igual à largura, ou seja, o canteiro será um quadrado.

Resposta

O valor de que otimiza a área do canteiro é .

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( ) O gráfico de está apoiado sobre uma parábola com concavidade voltada para baixo.
( ) A função possui uma única raiz.
( ) O ponto pertence ao gráfico de .
( ) O ponto é um ponto crítico do gráfico de .
( ) .