O vetor v, sabendo que |v|=5, v é ortogonal ao eixo Ox, v.w=6. ew=i+2j, é?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um vetor v que tem módulo igual a 5, é perpendicular ao eixo Ox, e o produto escalar entre v e outro vetor w resulta em 6. A gente vai usar conceitos de vetores, perpendicularidade e produto escalar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como v é ortogonal ao eixo Ox, isso significa que ele não tem componente na direção de Ox. Em termos de coordenadas, se a gente considerar Ox como a direção x, então a componente x de v é zero. Ou seja, v = (0, y, z).

Passo 3

Agora, sabemos que o módulo de v é 5. O módulo de um vetor (ou comprimento) é calculado usando a fórmula:
|v| = raizx^2 + y^2 + z^2
Como x = 0, temos:
5 = raiz0^2 + y^2 + z^2
5 = raizy^2 + z^2

Passo 4

Vamos elevar os dois lados ao quadrado para simplificar:
25 = y^2 + z^2
y^2 + z^2 = 25

Passo 5

Agora, vamos usar o produto escalar entre v e w. O vetor w é dado por w = i + 2j, que em coordenadas fica w = (1, 2, 0).
O produto escalar é calculado assim:
v cdot w = xw cdot xv + yw cdot yv + zw cdot zv
Substituindo os valores:
v cdot w = (1)(0) + (2)(y) + (0)(z) = 2y
Sabemos que esse produto é igual a 6:
2y = 6
y = 3

Passo 6

Com y = 3, voltamos na equação da magnitude:
3^2 + z^2 = 25
9 + z^2 = 25
z^2 = 16
z = pm 4

Resposta

Então, o vetor v pode ser:
v = 0,i + 3,j + 4,k ou v = 0,i + 3,j - 4,k

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