O vetor v, sabendo que |v|=5, v é ortogonal ao eixo Ox, v.w=6. ew=i+2j, é?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um vetor v que tem módulo igual a 5, é perpendicular ao eixo Ox, e o produto escalar entre v e outro vetor w resulta em 6. A gente vai usar conceitos de vetores, perpendicularidade e produto escalar para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, como v é ortogonal ao eixo Ox, isso significa que ele não tem componente na direção de Ox. Em termos de coordenadas, se a gente considerar Ox como a direção x, então a componente x de v é zero. Ou seja, v = (0, y, z).
Passo 3
Agora, sabemos que o módulo de v é 5. O módulo de um vetor (ou comprimento) é calculado usando a fórmula:
Como x = 0, temos:
Passo 4
Vamos elevar os dois lados ao quadrado para simplificar:
Passo 5
Agora, vamos usar o produto escalar entre v e w. O vetor w é dado por w = i + 2j, que em coordenadas fica w = (1, 2, 0).
O produto escalar é calculado assim:
Substituindo os valores:
Sabemos que esse produto é igual a 6:
Passo 6
Com y = 3, voltamos na equação da magnitude:
Resposta
Então, o vetor v pode ser: