Quais os valores de t para que o ponto P de coordenadas ( 4t-1, 5-2t ) esteja no primeiro quadrante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores de $ t $ para que o ponto $ P $ com coordenadas $ (4t - 1, 5 - 2t) $ esteja no primeiro quadrante do plano cartesiano. Isso envolve entender um pouquinho de coordenadas e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, lembra que o primeiro quadrante é onde tanto a coordenada $ x $ quanto a coordenada $ y $ são positivas, ou seja, $ x > 0 $ e $ y > 0 $. Então, precisamos garantir que ambas as coordenadas do ponto $ P $ sejam maiores que zero.

Passo 3

Vamos analisar a coordenada $ x $ de $ P $: $ 4t - 1 $. Para que ela seja positiva:
x
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de $ t $.

Passo 4

Resolvendo $ 4t - 1 > 0 $:
4t - 1 > 0
Então, para a coordenada $ x $ ser positiva, $ t $ precisa ser maior que $ \frac{1}{4} $.

Passo 5

Agora, vamos analisar a coordenada $ y $ de $ P $: $ 5 - 2t $. Ela também precisa ser positiva:
y
Vamos resolver essa desigualdade.

Passo 6

Resolvendo $ 5 - 2t > 0 $:
5 - 2t > 0
Lembre que ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte:
5 - 2t > 0 -2t > -5
Então, para a coordenada $ y $ ser positiva, $ t $ precisa ser menor que $ \frac{5}{2} $.

Passo 7

Agora, juntando as duas condições que encontramos:
t > 14 e t < 52
Isso significa que $ t $ deve estar entre $ \frac{1}{4} $ e $ \frac{5}{2} $.

Resposta

Os valores de $ t $ que fazem o ponto $ P(4t - 1, 5 - 2t) $ estar no primeiro quadrante são todos os números reais tais que:
t

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