Pedro é um aluno de engenharia em uma determinada universidade em Salvador e tem 70% de chance de responder corretamente cada questão de uma prova de cálculo A. Sabendo-se que essa prova é composta de 10 questões objetivas, cada uma valendo 1 ponto, assinale a alternativa que indica a probabilidade de Pedro tirar, exatamente, nota 7 e ser aprovado na disciplina.
22,68%.
28,68%.
24,68%.
26,68%.
20,68%.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O Pedro tem 70% de chance de acertar cada questão de uma prova de cálculo A, que tem 10 questões, cada uma valendo 1 ponto. A gente precisa descobrir qual é a probabilidade dele tirar exatamente 7 pontos e assim ser aprovado na disciplina. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial, que é ótima para situações com sucessos e fracassos em tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é distribuição binomial. Ela serve para calcular a probabilidade de ter exatamente k sucessos em n tentativas, quando a probabilidade de sucesso em cada tentativa é p. A fórmula é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Aqui:
  • $ n = 10 $ (número total de questões)
  • $ k = 7 $ (número de acertos que queremos)
  • $ p = 0,7 $ (probabilidade de acertar uma questão)

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{n}{k} $, que representa o número de maneiras de escolher k sucessos em n tentativas. A fórmula é:
binomnk
Para nosso caso:
binomnk = n!k!(n - k)!

Passo 4

Agora, vamos calcular $ p^k $ e $ (1 - p)^{n - k} $:
p^k
(1 - p)^n - k
Calculando cada parte:
p^k = 0,7^7
(1 - p)^n - k = 0,3^3

Passo 5

Agora, multiplicamos tudo junto para encontrar a probabilidade:
P(X = 7) = 120 times 0,0823543 times 0,027
Calculando:
P(X = 7) approx 120 times 0,002223273
P(X = 7) approx 0,266793
Convertendo para porcentagem:
0,266793 times 100 approx 26,68%

Resposta

A probabilidade de Pedro tirar exatamente 7 pontos e ser aprovado na disciplina é de 26,68%.

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