Para quais valores de
a série
converge?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta para quais valores de
a série
converge. Isso está relacionado com séries geométricas, que fazem parte do estudo de sequências e séries em Cálculo. Para resolver, vamos precisar saber as condições de convergência de uma série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a série
é uma série geométrica. Uma série geométrica geral tem a forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica converge se, e somente se, o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
. Caso contrário, a série diverge. Então, para a nossa série, precisamos que
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a desigualdade
. Isso significa que
. Para encontrar os valores de
, vamos resolver essas duas desigualdades separadamente:
Passo 5
Resolvendo
:
Para tirar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Sabemos que
, então
.
Passo 6
Resolvendo
:
Novamente, aplicamos a função exponencial:
E
, então
.
Passo 7
Juntando as duas condições, temos que
deve satisfazer:
Portanto, para valores de
entre
e
, a série
converge.
Resposta
A série
converge para todos os valores de
que satisfazem
.