Para quais valores de x a série sumn=1^infty(ln x)^n converge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta para quais valores de a série converge. Isso está relacionado com séries geométricas, que fazem parte do estudo de sequências e séries em Cálculo. Para resolver, vamos precisar saber as condições de convergência de uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a série é uma série geométrica. Uma série geométrica geral tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão comum. No nosso caso, e .

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica converge se, e somente se, o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Caso contrário, a série diverge. Então, para a nossa série, precisamos que .

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade . Isso significa que . Para encontrar os valores de , vamos resolver essas duas desigualdades separadamente:

Passo 5

Resolvendo :
Para tirar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Sabemos que , então .

Passo 6

Resolvendo :
Novamente, aplicamos a função exponencial:
E , então .

Passo 7

Juntando as duas condições, temos que deve satisfazer:
Portanto, para valores de entre e , a série converge.

Resposta

A série converge para todos os valores de que satisfazem .

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