A expressão abaixo, eq. (02) é a equação do movimento, obtida a partir da aplicação da 2á lei de Newton ( 2 a lei do movimento) de um sistema massa-mola horizontal (massa
e constante elástica
) sem atrito. O valor
é a posição do bloco e
é a aceleração (segunda derivada temporal da posição). Mostre um caminho para se chegar até a eq. (02) e comente sobre a importância da solução da equação harmônica para a Matemática e para a Física. Mostre que a equação de um sistema massa-mola vertical também é dada pela eq. (02).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre a equação do movimento de um sistema massa-mola horizontal, onde temos uma massa $ m $ conectada a uma mola com constante elástica $ k $, sem atrito. A equação que precisamos chegar é:
Para resolver isso, vamos usar a 2ª Lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Além disso, vamos explorar a equação harmônica e mostrar como ela também se aplica a um sistema massa-mola vertical. No final, vamos comentar sobre a importância dessa equação tanto para a Matemática quanto para a Física.
Passo 2
Vamos começar aplicando a 2ª Lei de Newton. A lei diz que a força resultante $ F $ é igual à massa $ m $ multiplicada pela aceleração $ \ddot{x} $:
Nesse sistema massa-mola, a única força agindo na massa é a força da mola, que podemos modelar pela Lei de Hooke.
Passo 3
A Lei de Hooke diz que a força exercida pela mola é proporcional ao deslocamento $ x $ da posição de equilíbrio, e age na direção oposta. Assim, temos:
O sinal negativo indica que a força da mola sempre tenta trazer a massa de volta para a posição de equilíbrio.
Passo 4
Agora, igualamos a força resultante da 2ª Lei de Newton à força da mola:
Queremos isolar todos os termos para um lado da equação, então adicionamos $ kx $ aos dois lados:
Passo 5
Dividimos toda a equação por $ m $ para simplificar:
E aí está a equação do movimento que queríamos chegar!
Passo 6
Agora, vamos falar sobre a importância dessa equação harmônica. Na Matemática, ela é um exemplo clássico de equações diferenciais lineares de segunda ordem, que aparecem em vários contextos. Na Física, a equação descreve movimentos oscilatórios, como pêndulos, circuitos elétricos e, claro, sistemas massa-mola. Entender essa equação ajuda a compreender fenômenos periódicos e vibrações em diferentes áreas da ciência e engenharia.
Passo 7
Por fim, vamos mostrar que a equação para um sistema massa-mola vertical também segue a mesma forma. No caso vertical, além da força da mola, temos a força da gravidade agindo na massa. A força total é:
No equilíbrio, a força da mola equilibra a gravidade, ou seja, $ -k x_0 + m g = 0 $, onde $ x_0 $ é a deformação da mola devido ao peso. Se considerarmos pequenas oscilações ao redor do ponto de equilíbrio $ x_0 $, o termo $ m g $ se cancela, e ficamos com:
Que é a mesma equação que obtivemos para o sistema horizontal.
Resposta
Chegamos à equação do movimento $ \ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0 $ para um sistema massa-mola, tanto na horizontal quanto na vertical. Além disso, entendemos a relevância dessa equação na Matemática e na Física para descrever movimentos oscilatórios e fenômenos periódicos.