Encontre a solução geral da equação diferencial em cada caso:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções na nossa equação. A equação está no formato padrão:
Aqui,
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 3
Vamos calcular a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
Passo 5
Integramos ambos os lados da equação em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
A integral
pode não ter uma forma fechada em termos de funções elementares, então geralmente é deixada nessa forma ou expressa usando funções especiais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Determine o domínio de cada uma das funções abaixo e esboce tal domínio no plano
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Encontre a solução geral da equação diferencial em cada caso:
Vamos supor que temos um tanque de capacidade fixa cheio de uma solução completamente misturada de alguma substância. Uma solução de uma dada concentração entra no tanque a taxa fixa e a mistura, bem agitada, sai a uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada. Se
denota a quantidade de substância no tanque no instanante
, então
é a taxa na qual a substância está sendo adicionada menos a taxa na qual ela está sendo retirada. Isto é,
Com essa informação considere a seguinte situação:
Um tanque contém 15 kg de sal dissolvido em 3000 L de água. Água salgada com 0.01 Kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de . A solução é misturada completamente e sai do tanque com uma taxa de
. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque após 25 minutos?
Um tanque contém 15 kg de sal dissolvido em 3000 L de água. Água salgada com 0.01 Kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de