Encontre a solução geral da equação diferencial em cada caso: d y/d t + t^2 y = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções na nossa equação. A equação está no formato padrão:
Aqui, e . O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 3

Vamos calcular a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:

Passo 5

Integramos ambos os lados da equação em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para isolar , dividimos ambos os lados por :
A integral pode não ter uma forma fechada em termos de funções elementares, então geralmente é deixada nessa forma ou expressa usando funções especiais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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