Encontre a solução geral da equação diferencial em cada caso:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções na nossa equação. A equação está no formato padrão:
Aqui,
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 3
Vamos calcular a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
Passo 5
Integramos ambos os lados da equação em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
A integral
pode não ter uma forma fechada em termos de funções elementares, então geralmente é deixada nessa forma ou expressa usando funções especiais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.