Um vaqueiro amarra no poste de uma cerca a extremidade de uma corda de 12,0 m de comprimento, de modo que a corda fique esticada horizontalmente, submetida a uma tensão de 160 N. A massa da corda é igual a 0,600 kg. Ele faz a extremidade da corda oscilar para cima e para baixo com frequência de 12,0 Hz, gerando onda harmônica de amplitude igual a 18,0 cm.
d) Calcule a potência média transmitida através da corda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um vaqueiro que está fazendo uma onda harmônica em uma corda. O enunciado nos dá informações sobre a tensão da corda, o comprimento, a massa, a frequência e a amplitude da onda. Vamos usar os conceitos de ondas em cordas para calcular a potência média transmitida através dela. Vamos precisar das fórmulas que relacionam tensão, massa por unidade de comprimento, frequência e amplitude para encontrar a potência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a massa por unidade de comprimento da corda, que é chamada de mu = mL . A massa por unidade de comprimento é dada pela fórmula:
onde é a massa da corda e é o comprimento da corda.

Passo 3

Substituindo os valores fornecidos:
mu = 0,600, kg12,0, m = 0,05, kg/m

Passo 4

Agora, precisamos calcular a velocidade da onda ( v = raizTmu ) na corda. A velocidade de uma onda em uma corda é dada por:
onde é a tensão na corda.

Passo 5

Substituindo os valores:
v = raiz160, N0,05, kg/m = raiz3200, m^2/s^2 = 56,57, m/s

Passo 6

Agora, vamos calcular a frequência angular ( omega = 2pi f ) da onda. A frequência angular está relacionada com a frequência ( ) pela fórmula:

Passo 7

Substituindo os valores:
omega = 2pi times 12,0, Hz = 24pi, rad/s approx 75,40, rad/s

Passo 8

A amplitude ( A = 18,0, cm = 0,18, m ) da onda foi dada como 18,0 cm, que precisamos converter para metros:

Passo 9

Agora, podemos calcular a potência média ( P = 12 mu omega^2 A^2 v ) transmitida pela corda. A fórmula para a potência média de uma onda harmônica em uma corda é:

Passo 10

Substituindo todos os valores calculados:
P = 12 times 0,05, kg/m times (75,40, rad/s)^2 times (0,18, m)^2 times 56,57, m/s
Primeiro, vamos calcular cada parte passo a passo:
(75,40)^2 = 5688,16, rad^2/s^2
(0,18)^2 = 0,0324, m^2
0,05 times 5688,16 = 284,408
284,408 times 0,0324 = 9,1985
9,1985 times 56,57 = 520,74, W
P = 12 times 520,74, W = 260,37, W

Resposta

A potência média transmitida através da corda é de aproximadamente .

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