Uma variável aleatória contínua tem f.d.p dada por f(x)=ccx2, & 0 <= x <= 2, 0, & caso contrário á
10a
Verifique que f é realmente f.d.p.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo da Matéria
Estamos verificando se a função f(x) = x2, & 0 <= x <= 2, 0, & caso contrário definida por:
integral-infty^infty f(x) , dx = 1 á
é realmente uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) para uma variável aleatória contínua. Para isso, precisamos lembrar que uma f.d.p deve satisfazer dois critérios principais:
  1. Não Negatividade: para todo .
  2. Integral Total Igual a 1: A integral de sobre todo o espaço deve ser igual a 1, ou seja:

Passo 2

Verificando a Não Negatividade da Função
Primeiro, vamos verificar se f(x) = x2 é sempre maior ou igual a zero.
  • Para f(x) = 0 :
Como está entre 0 e 2, também será entre 0 e 1, portanto .
  • Para outros valores de :
Portanto, é sempre não negativa.

Passo 3

Calculando a Integral de integral-infty^infty f(x) , dx = integral0^2 x2 , dx sobre Todo o Espaço
Agora, precisamos calcular a integral de 12 integral0^2 x , dx de integral x , dx = x^22 + C a 12 [ x^22 ]0^2 = 12 ( 2^22 - 0^22 ) = 12 ( 42 - 0 ) = 12 times 2 = 1 e verificar se o resultado é igual a 1.
Como para e , a integral simplifica para o intervalo de 0 a 2:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, fatoramos a constante :
Agora, integramos em relação a :
Portanto:

Resposta

Sim, a função é uma função de densidade de probabilidade válida, pois é não negativa em todo o domínio e a integral total de é igual a 1.

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