Uma variável aleatória contínua tem f.d.p dada por
10a
Verifique que
é realmente f.d.p.
10a
Verifique que
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo da Matéria
Estamos verificando se a função
definida por:
é realmente uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) para uma variável aleatória contínua. Para isso, precisamos lembrar que uma f.d.p deve satisfazer dois critérios principais:
- Não Negatividade:
para todo . - Integral Total Igual a 1: A integral de
sobre todo o espaço deve ser igual a 1, ou seja:
Passo 2
Verificando a Não Negatividade da Função
Primeiro, vamos verificar se
é sempre maior ou igual a zero.
- Para
:
Como
está entre 0 e 2,
também será entre 0 e 1, portanto
.
- Para outros valores de
:
Portanto,
é sempre não negativa.
Passo 3
Calculando a Integral de
sobre Todo o Espaço
Agora, precisamos calcular a integral de
de
a
e verificar se o resultado é igual a 1.
Como
para
e
, a integral simplifica para o intervalo de 0 a 2:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, fatoramos a constante
:
Agora, integramos
em relação a
:
Portanto:
Resposta
Sim, a função
é uma função de densidade de probabilidade válida, pois é não negativa em todo o domínio e a integral total de
é igual a 1.