Uma variável aleatória discreta Y representa o número de carros que passam por um ponto em uma estrada em uma hora. Dado que Y segue uma distribuição de Poisson com média de 5 carros por hora, qual é a probabilidade de que exatamente 7 carros passem em uma hora?
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma variável aleatória discreta
que representa o número de carros que passam por um ponto em uma estrada em uma hora. Sabemos que
segue uma distribuição de Poisson com uma média (
) de 5 carros por hora. Queremos encontrar a probabilidade de que exatamente 7 carros passem nesse ponto em uma hora. Para resolver isso, vamos usar a distribuição de Poisson, que é útil para calcular probabilidades de eventos que acontecem de forma independente em intervalos fixos de tempo ou espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula da distribuição de Poisson. A fórmula para calcular a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos é:
Onde:
-
é a média de eventos (neste caso, 5 carros por hora). -
é o número exato de eventos que queremos encontrar a probabilidade (neste caso, 7 carros). -
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828. -
é o fatorial de .
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula. Queremos encontrar
:
Passo 4
Vamos calcular cada parte dessa fórmula separadamente.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
(fatorial de 7):
Passo 5
Agora, vamos substituir esses valores de volta na fórmula:
Primeiro, multiplicamos
por
:
Passo 6
Por fim, dividimos esse resultado pelo fatorial de 7:
Resposta
A probabilidade de que exatamente 7 carros passem por esse ponto em uma hora é aproximadamente 10,46%.