Uma variável aleatória discreta Y representa o número de carros que passam por um ponto em uma estrada em uma hora. Dado que Y segue uma distribuição de Poisson com média de 5 carros por hora, qual é a probabilidade de que exatamente 7 carros passem em uma hora?

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma variável aleatória discreta que representa o número de carros que passam por um ponto em uma estrada em uma hora. Sabemos que segue uma distribuição de Poisson com uma média ( ) de 5 carros por hora. Queremos encontrar a probabilidade de que exatamente 7 carros passem nesse ponto em uma hora. Para resolver isso, vamos usar a distribuição de Poisson, que é útil para calcular probabilidades de eventos que acontecem de forma independente em intervalos fixos de tempo ou espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula da distribuição de Poisson. A fórmula para calcular a probabilidade de ocorrer exatamente P(Y = k) = e^-lambda cdot lambda^kk! eventos é:
Onde:
  • é a média de eventos (neste caso, 5 carros por hora).
  • é o número exato de eventos que queremos encontrar a probabilidade (neste caso, 7 carros).
  • é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828.
  • é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula. Queremos encontrar P(Y = 7) = e^-5 cdot 5^77! :

Passo 4

Vamos calcular cada parte dessa fórmula separadamente.
  1. Calcular e^-5 approx 0,006737947 :
5^7 = 5 times 5 times 5 times 5 times 5 times 5 times 5 = 78.125
  1. Calcular 7! = 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 5.040 :
  1. Calcular (fatorial de 7):

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores de volta na fórmula:
P(Y = 7) = 0,006737947 times 78.1255.040
Primeiro, multiplicamos 0,006737947 times 78.125 approx 0,527343 por :

Passo 6

Por fim, dividimos esse resultado pelo fatorial de 7:
P(Y = 7) = 0,5273435.040 approx 0,1046

Resposta

A probabilidade de que exatamente 7 carros passem por esse ponto em uma hora é aproximadamente 10,46%.

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