• A variável aleatória ( X, Y ) é uniformemente distribuída na região delimitada pela reta y= 4 e a curva y=x^2. Determine f(x, y), f(x) e f(y). Calcule P(X<0 ; Y<3)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a distribuição conjunta , as distribuições marginais e , e calcular a probabilidade . A variável aleatória está uniformemente distribuída na região delimitada pela reta e pela curva . Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade contínua e cálculo de áreas para determinar as distribuições e probabilidades desejadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região onde está distribuída. A curva é uma parábola que abre para cima, e a reta é uma linha horizontal que corta a parábola. Para encontrar os limites de , igualamos , o que nos dá e . Portanto, a região de distribuição está entre e , e para cada , varia de até .

Passo 3

Como A = integral-2^2 integralx^2^4 dy , dx = integral-2^2 (4 - x^2) , dx é uniformemente distribuída nessa região, a função de densidade conjunta A = integral-2^2 4 , dx - integral-2^2 x^2 , dx = 4 cdot (2 - (-2)) - [ x^33 ]-2^2 = 16 - ( 83 - (-83) ) = 16 - 163 = 323 é constante dentro dessa área e zero fora. Para encontrar o valor dessa constante, precisamos calcular a área da região.
A área é dada por:
Calculando a integral:

Passo 4

Agora, a densidade conjunta f(x, y) = 1A = 332, & se -2 <= x <= 2 e x^2 <= y <= 4 0, & caso contrário é dada por:
á

Passo 5

Para encontrar a distribuição marginal f(x) = integralx^2^4 f(x, y) , dy = integralx^2^4 332 , dy = 332 (4 - x^2) = 3(4 - x^2)32 , integramos em relação a :

Passo 6

De maneira similar, para encontrar f(y) = integral-raizy^raizy f(x, y) , dx = integral-raizy^raizy 332 , dx = 332 cdot 2raizy = 3raizy16 , integramos em relação a . Primeiro, determinamos os limites de para cada . A curva nos dá , e varia de a quando .

Passo 7

Finalmente, para calcular a probabilidade A' = integral-2^0 integralx^2^3 dy , dx = integral-2^0 (3 - x^2) , dx , precisamos encontrar a área da região onde A' = integral-2^0 3 , dx - integral-2^0 x^2 , dx = 3(0 - (-2)) - [ x^33 ]-2^0 = 6 - ( 0 - (-83) ) = 6 - 83 = 103 e P(X < 0; Y < 3) = A'A = 103323 = 1032 = 516 , dentro da região original.
Primeiro, determinamos os limites:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de até . Como , vai de a .
Então, a área é:
Calculando a integral:
A probabilidade é então:

Resposta

A distribuição conjunta é
f(x, y) = 332, & -2 <= x <= 2 e x^2 <= y <= 4 0, & caso contrário á
As distribuições marginais são
f(x) = 3(4 - x^2)32, -2 <= x <= 2
f(y) = 3raizy16, 0 <= y <= 4
E a probabilidade é
P(X < 0; Y < 3) = 516

Exercícios relacionados