- A variável aleatória (
) é uniformemente distribuída na região delimitada pela reta
4 e a curva
. Determine
e
. Calcule
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a distribuição conjunta
, as distribuições marginais
e
, e calcular a probabilidade
. A variável aleatória
está uniformemente distribuída na região delimitada pela reta
e pela curva
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade contínua e cálculo de áreas para determinar as distribuições e probabilidades desejadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região onde
está distribuída. A curva
é uma parábola que abre para cima, e a reta
é uma linha horizontal que corta a parábola. Para encontrar os limites de
, igualamos
, o que nos dá
e
. Portanto, a região de distribuição está entre
e
, e para cada
,
varia de
até
.
Passo 3
Como
é uniformemente distribuída nessa região, a função de densidade conjunta
é constante dentro dessa área e zero fora. Para encontrar o valor dessa constante, precisamos calcular a área da região.
A área
é dada por:
Calculando a integral:
Passo 4
Agora, a densidade conjunta
é dada por:
Passo 5
Para encontrar a distribuição marginal
, integramos
em relação a
:
Passo 6
De maneira similar, para encontrar
, integramos
em relação a
. Primeiro, determinamos os limites de
para cada
. A curva
nos dá
, e
varia de
a
quando
.
Passo 7
Finalmente, para calcular a probabilidade
, precisamos encontrar a área da região onde
e
, dentro da região original.
Primeiro, determinamos os limites:
-
varia de a . - Para cada
, varia de até . Como , vai de a .
Então, a área
é:
Calculando a integral:
A probabilidade é então:
Resposta
A distribuição conjunta é
As distribuições marginais são
E a probabilidade é