Uma variável X é uniformemente distribuída no intervalo [10, 20]. Determine:
a) valor esperado e variância de X;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma variável que é distribuída de forma uniforme no intervalo [10, 20]. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado (que é tipo a média) e a variância dessa variável. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas específicas para distribuições uniformes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição uniforme. Basicamente, significa que todos os valores dentro do intervalo [10, 20] têm a mesma probabilidade de ocorrer. Não tem valor “mais provável” dentro desse intervalo, tudo é igualzinho.

Passo 3

Agora, para encontrar o valor esperado E[X] = a + b2 de uma distribuição uniforme contínua no intervalo [a, b], usamos a fórmula:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular o valor esperado usando os valores de E[X] = 10 + 202 = 302 = 15 e :
Então, o valor esperado de é 15.

Passo 5

Agora, vamos para a variância Var(X) = (b - a)^212 . A variância mede o quanto os valores se espalham em torno da média. Para a distribuição uniforme contínua, a fórmula é:

Passo 6

Vamos aplicar os valores de Var(X) = (20 - 10)^212 = 10012 approx 8,333 e na fórmula da variância:
Então, a variância de é aproximadamente 8,333.

Resposta

O valor esperado de é 15 e a variância de é aproximadamente 8,333.

Exercícios relacionados