Um vasilhame de cobre com capacidade de um litro e cujo coeficiente de dilatação linear é 17,0 times 10^-6 ^circ C^-1 foi completamente preenchido com líquido cujo coeficiente de dilatação volumétrica é igual a 5,0 times 10^-4 ^circ C^-1. Inicialmente, o sistema (vasilhame + líquido) estava em equilíbrio térmico a 20^circ C. Considerando essas informações, determine o volume, em m l, de líquido que transbordará quando a temperatura do sistema se elevar a 40^circ C.

Passo 1

Beleza! Então, temos um problema que envolve expansão térmica de materiais. Especificamente, estamos lidando com a expansão linear do cobre e a expansão volumétrica de um líquido dentro de um recipiente de cobre. Precisamos descobrir quanto líquido vai transbordar quando a temperatura aumenta de para . Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de expansão térmica linear e volumétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expansão térmica linear do cobre. A expansão linear ocorre quando um material se alonga ou encurta em uma direção devido a uma mudança de temperatura. A fórmula para calcular a variação no comprimento (ou outra dimensão linear) é:
De
Onde:
  • é a variação na dimensão linear,
  • é a dimensão original,
  • é o coeficiente de dilatação linear,
  • é a variação de temperatura.

Passo 3

No nosso caso, como o recipiente é um vasilhame com capacidade de 1 litro, podemos assumir que ele é aproximadamente cúbico para simplificar os cálculos. Assim, cada dimensão linear do vasilhame é a raiz cúbica de 1 litro ( De), que é .
Vamos calcular como cada dimensão do vasilhame se expande quando a temperatura aumenta de para :
Então, cada dimensão do vasilhame aumenta .

Passo 4

Agora, vamos calcular a variação volumétrica do vasilhame devido à expansão linear. Como temos um aumento em todas as três dimensões, o volume total do vasilhame após a expansão será:
Vvasilhame = (L0 + De
Para pequenas variações, podemos aproximar essa expressão como:
Vvasilhame approx L0^3 + 3L0^2 De
Substituindo os valores:
Vvasilhame approx 1000 , mL + 3 cdot (10 , cm)^2 cdot 0,0034 , cm = 1000 + 3 cdot 100 cdot 0,0034 = 1000 + 1,02 = 1001,02 , mL
Portanto, o vasilhame expande para aproximadamente .

Passo 5

Agora, vamos calcular a expansão volumétrica do líquido contido no vasilhame. A fórmula para a variação no volume devido à expansão térmica é:
De
Onde:
  • De é a variação no volume,
  • é o volume original,
  • é o coeficiente de dilatação volumétrica,
  • é a variação de temperatura.
Substituindo os valores:
Então, o volume do líquido aumenta em .

Passo 6

Para encontrar o volume que transbordará, devemos comparar o aumento no volume do líquido com o aumento na capacidade do vasilhame. O vasilhame expandiu Volume que transborda = De e o líquido expandiu .
Então, o excesso de líquido que vai transbordar é:
í

Resposta

O volume de líquido que transbordará é de aproximadamente 8,98 mL.

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