Um vasilhame de cobre com capacidade de um litro e cujo coeficiente de dilatação linear é
foi completamente preenchido com líquido cujo coeficiente de dilatação volumétrica é igual a
. Inicialmente, o sistema (vasilhame + líquido) estava em equilíbrio térmico a
. Considerando essas informações, determine o volume, em
, de líquido que transbordará quando a temperatura do sistema se elevar a
.
Passo 1
Beleza! Então, temos um problema que envolve expansão térmica de materiais. Especificamente, estamos lidando com a expansão linear do cobre e a expansão volumétrica de um líquido dentro de um recipiente de cobre. Precisamos descobrir quanto líquido vai transbordar quando a temperatura aumenta de
para
. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de expansão térmica linear e volumétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expansão térmica linear do cobre. A expansão linear ocorre quando um material se alonga ou encurta em uma direção devido a uma mudança de temperatura. A fórmula para calcular a variação no comprimento (ou outra dimensão linear) é:
Onde:
-
é a variação na dimensão linear, -
é a dimensão original, -
é o coeficiente de dilatação linear, -
é a variação de temperatura.
Passo 3
No nosso caso, como o recipiente é um vasilhame com capacidade de 1 litro, podemos assumir que ele é aproximadamente cúbico para simplificar os cálculos. Assim, cada dimensão linear do vasilhame é a raiz cúbica de 1 litro (
), que é
.
Vamos calcular como cada dimensão do vasilhame se expande quando a temperatura aumenta de
para
:
Então, cada dimensão do vasilhame aumenta
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variação volumétrica do vasilhame devido à expansão linear. Como temos um aumento em todas as três dimensões, o volume total do vasilhame após a expansão será:
Para pequenas variações, podemos aproximar essa expressão como:
Substituindo os valores:
Portanto, o vasilhame expande para aproximadamente
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a expansão volumétrica do líquido contido no vasilhame. A fórmula para a variação no volume devido à expansão térmica é:
Onde:
-
é a variação no volume, -
é o volume original, -
é o coeficiente de dilatação volumétrica, -
é a variação de temperatura.
Substituindo os valores:
Então, o volume do líquido aumenta em
.
Passo 6
Para encontrar o volume que transbordará, devemos comparar o aumento no volume do líquido com o aumento na capacidade do vasilhame. O vasilhame expandiu
e o líquido expandiu
.
Então, o excesso de líquido que vai transbordar é:
Resposta
O volume de líquido que transbordará é de aproximadamente 8,98 mL.
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