Um recipiente cilíndrico de capacidade 200 ml cujo material tem um coeficiente de dilatação volumétrica
está completamente cheio com um pedaço de metal de densidade
, coeficiente de dilatação volumétrico
e um líquido cuja densidade é
e o coeficiente de dilatação volumétrico é
. Admita que o sistema seja submetido a variações de temperatura tais que os valores dos coeficientes de dilatação permaneçam constantes e que o líquido e o corpo continuem a preencher completamente o volume interno do recipiente. Qual a razão que deve existir entre a massa
do metal e a massa
do líquido para que isso ocorra.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um recipiente cilíndrico de 200 ml cheio com um pedaço de metal e um líquido. A gente precisa descobrir a razão entre a massa do metal (
) e a massa do líquido (
) para que, quando a temperatura variar, tudo continue encaixando direitinho no recipiente sem sobrar espaço ou estourar.
Vamos usar conceitos de dilatação volumétrica, que é quando materiais expandem ou contraem de volume com a mudança de temperatura. Para resolver isso, vamos precisar das densidades, dos coeficientes de dilatação volumétrica e do volume inicial do recipiente.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o volume do recipiente de mililitros para metros cúbicos, pois as densidades estão em kg/m³.
Sabemos que:
Então:
Passo 3
Agora, vamos determinar os volumes iniciais do metal e do líquido dentro do recipiente.
Sabemos que a soma dos volumes do metal (
) e do líquido (
) deve ser igual ao volume total do recipiente:
E também, usando as densidades:
Onde:
-
(densidade do metal) -
(densidade do líquido)
Passo 4
Substituindo os valores de
e
na equação do volume total:
Essa será a nossa equação principal.
Passo 5
Agora, consideramos a dilatação do recipiente, do metal e do líquido com a variação de temperatura
.
A dilatação volumétrica é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente de dilatação volumétrica.
Para o recipiente:
Para o metal:
Para o líquido:
Passo 6
Para que o sistema continue preenchendo o recipiente exatamente, as expansões e contrações devem se equilibrar. Ou seja:
Substituindo as expressões de
:
Passo 7
Podemos simplificar
dos dois lados:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Passo 8
Multiplicando toda a equação por
para simplificar:
Simplificando:
Passo 9
Agora, queremos a razão
. Vamos rearranjar a equação para isolar uma variável em termos da outra.
Mas essa abordagem não facilita. Melhor expressar ambos os termos em termos de
.
Dividindo toda a equação original por
:
Para manter a proporção independente de
, consideramos que
deve ser constante. Entretanto, uma abordagem mais direta é resolver a equação com a relação de razão.
Passo 10
Vamos considerar que a razão
. Então,
.
Substituindo na equação:
Mas ainda não chegamos a uma conclusão clara. Vamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 11
Vamos revisar os cálculos anteriores para simplificar.
Voltemos à equação após simplificar
:
Multiplicando por
:
Agora, isolamos a razão
:
Parece que algo está errado. Vamos verificar novamente os cálculos.
Passo 12
Vamos revisar a equação em:
Multiplicando por
:
Agora, expressamos
em termos de
:
Essa expressão sugere que para valores positivos de
,
diminui, o que não faz sentido físico. Provavelmente, houve um erro na interpretação dos coeficientes. Vamos reavaliar a equação original.
Passo 13
Revisando a equação após multiplicar por
:
Agora, vamos isolar uma das massas. Suponhamos que queremos a razão
.
Então,
.
Substituindo na equação:
Não estamos progredindo. Parece que precisamos usar outra abordagem.
Passo 14
Vamos pensar em termos de dilatações relativas.
Para o volume total continuar preenchendo o recipiente, as dilatações devem se equilibrar:
Calculando cada
:
Recipiente:
Metal:
Líquido:
Igualando:
Simplificando:
Multiplicando por
:
Agora, temos:
Dividindo toda a equação por 0,3:
Agora, expressando
em termos de
:
Ainda assim, parece não estar clareando. Vamos tentar uma abordagem diferente.
Passo 15
Vamos revisar os cálculos iniciais para evitar erros.
Originalmente:
Multiplicando por
:
Agora, rearranjando:
Isso indica que, para manter o volume constante, a massa do metal depende inversamente da massa do líquido, o que não é fisicamente plausível. Parece que há um erro na abordagem.
Passo 16
Vamos reconsiderar a equação inicial e verificar se usamos os coeficientes corretamente.
Original:
Cancelando
:
Substituindo
e
:
Substituindo os valores:
Agora, multiplicando por
para simplificar:
Agora, temos:
Dividindo por 2:
Agora, expressando a razão
:
Parece que ainda não chegamos a uma expressão direta. Vamos tentar expressar em termos de
.
Então:
Parece que o problema está em que a equação depende de
, o que não resolve nossa intenção de encontrar a razão pura. Podíamos ter cometido um erro na aplicação dos coeficientes.
Passo 17
Vamos reavaliar a constante de dilatação volumétrica do recipiente.
No enunciado, o coeficiente de dilatação volumétrica do recipiente é
.
A variação de volume do recipiente é:
Como a dilatação do metal e do líquido devem compensar isso:
Cancelando
:
Rearranjando:
Multiplicando por
:
Agora, a equação é:
Dividindo por 0,3:
Expressando a razão
:
Ainda não conseguimos isolar
. Parece que precisamos de outra abordagem ou uma interpretação diferente do problema.
Passo 18
Talvez a maneira de resolver seja equacionar as dilatações de forma que a soma das dilatações do metal e do líquido compensam a dilatação do recipiente. Vamos tentar de novo:
Temos:
Substituindo
e
:
Isolando
:
Então a razão:
Ainda não está claro. Vamos tentar substituir os valores numéricos:
Substituindo:
Portanto:
Isso sugere que a razão depende do valor de
, o que não resolve nosso objetivo de encontrar uma expressão geral para a razão. Pode ser que haja uma restrição no problema que não consideramos ou que uma abordagem diferente seja necessária.
Resposta
Após seguir todos os passos e revisar as equações, percebemos que a razão entre a massa do metal (
) e a massa do líquido (
) que mantém o sistema em equilíbrio com a dilatação é dada por:
No entanto, uma razão negativa não faz sentido físico neste contexto, o que indica que pode haver uma inconsistência ou erro na interpretação do problema. Recomendo revisar os dados e as suposições para garantir que todos os coeficientes e densidades estejam aplicados corretamente.
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