Um recipiente cilíndrico de capacidade 200 ml cujo material tem um coeficiente de dilatação volumétrica está completamente cheio com um pedaço de metal de densidade , coeficiente de dilatação volumétrico e um líquido cuja densidade é e o coeficiente de dilatação volumétrico é . Admita que o sistema seja submetido a variações de temperatura tais que os valores dos coeficientes de dilatação permaneçam constantes e que o líquido e o corpo continuem a preencher completamente o volume interno do recipiente. Qual a razão que deve existir entre a massa do metal e a massa do líquido para que isso ocorra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um recipiente cilíndrico de 200 ml cheio com um pedaço de metal e um líquido. A gente precisa descobrir a razão entre a massa do metal ( ) e a massa do líquido ( ) para que, quando a temperatura variar, tudo continue encaixando direitinho no recipiente sem sobrar espaço ou estourar.
Vamos usar conceitos de dilatação volumétrica, que é quando materiais expandem ou contraem de volume com a mudança de temperatura. Para resolver isso, vamos precisar das densidades, dos coeficientes de dilatação volumétrica e do volume inicial do recipiente.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o volume do recipiente de mililitros para metros cúbicos, pois as densidades estão em kg/m³.
Sabemos que:
Então:

Passo 3

Agora, vamos determinar os volumes iniciais do metal e do líquido dentro do recipiente.
Sabemos que a soma dos volumes do metal ( ) e do líquido ( ) deve ser igual ao volume total do recipiente:
E também, usando as densidades:
Onde:
  • (densidade do metal)
  • (densidade do líquido)

Passo 4

Substituindo os valores de e na equação do volume total:
Essa será a nossa equação principal.

Passo 5

Agora, consideramos a dilatação do recipiente, do metal e do líquido com a variação de temperatura .
A dilatação volumétrica é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente de dilatação volumétrica.
Para o recipiente:
Para o metal:
Para o líquido:
íí
í

Passo 6

Para que o sistema continue preenchendo o recipiente exatamente, as expansões e contrações devem se equilibrar. Ou seja:
í
Substituindo as expressões de :

Passo 7

Podemos simplificar dos dois lados:
Calculando o lado esquerdo:
Então:

Passo 8

Multiplicando toda a equação por para simplificar:
Simplificando:

Passo 9

Agora, queremos a razão . Vamos rearranjar a equação para isolar uma variável em termos da outra.
Mas essa abordagem não facilita. Melhor expressar ambos os termos em termos de .
Dividindo toda a equação original por :
Para manter a proporção independente de , consideramos que deve ser constante. Entretanto, uma abordagem mais direta é resolver a equação com a relação de razão.

Passo 10

Vamos considerar que a razão . Então, .
Substituindo na equação:
Mas ainda não chegamos a uma conclusão clara. Vamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 11

Vamos revisar os cálculos anteriores para simplificar.
Voltemos à equação após simplificar :
Multiplicando por :
Agora, isolamos a razão :
Parece que algo está errado. Vamos verificar novamente os cálculos.

Passo 12

Vamos revisar a equação em:
Multiplicando por :
Agora, expressamos em termos de :
Essa expressão sugere que para valores positivos de , diminui, o que não faz sentido físico. Provavelmente, houve um erro na interpretação dos coeficientes. Vamos reavaliar a equação original.

Passo 13

Revisando a equação após multiplicar por :
Agora, vamos isolar uma das massas. Suponhamos que queremos a razão .
Então, .
Substituindo na equação:
Não estamos progredindo. Parece que precisamos usar outra abordagem.

Passo 14

Vamos pensar em termos de dilatações relativas.
Para o volume total continuar preenchendo o recipiente, as dilatações devem se equilibrar:
í
Calculando cada :
Recipiente:
Metal:
Líquido:
íí
Igualando:
Simplificando:
Multiplicando por :
Agora, temos:
Dividindo toda a equação por 0,3:
Agora, expressando em termos de :
Ainda assim, parece não estar clareando. Vamos tentar uma abordagem diferente.

Passo 15

Vamos revisar os cálculos iniciais para evitar erros.
Originalmente:
Multiplicando por :
Agora, rearranjando:
Isso indica que, para manter o volume constante, a massa do metal depende inversamente da massa do líquido, o que não é fisicamente plausível. Parece que há um erro na abordagem.

Passo 16

Vamos reconsiderar a equação inicial e verificar se usamos os coeficientes corretamente.
Original:
í
í
Cancelando :
í
Substituindo e :
í
Substituindo os valores:
Agora, multiplicando por para simplificar:
Agora, temos:
Dividindo por 2:
Agora, expressando a razão :
Parece que ainda não chegamos a uma expressão direta. Vamos tentar expressar em termos de .
Então:
Parece que o problema está em que a equação depende de , o que não resolve nossa intenção de encontrar a razão pura. Podíamos ter cometido um erro na aplicação dos coeficientes.

Passo 17

Vamos reavaliar a constante de dilatação volumétrica do recipiente.
No enunciado, o coeficiente de dilatação volumétrica do recipiente é .
A variação de volume do recipiente é:
Como a dilatação do metal e do líquido devem compensar isso:
í
Cancelando :
Rearranjando:
Multiplicando por :
Agora, a equação é:
Dividindo por 0,3:
Expressando a razão :
Ainda não conseguimos isolar . Parece que precisamos de outra abordagem ou uma interpretação diferente do problema.

Passo 18

Talvez a maneira de resolver seja equacionar as dilatações de forma que a soma das dilatações do metal e do líquido compensam a dilatação do recipiente. Vamos tentar de novo:
Temos:
í
í
Substituindo e :
í
Isolando :
í
Então a razão:
í
Ainda não está claro. Vamos tentar substituir os valores numéricos:
í
Substituindo:
Portanto:
Isso sugere que a razão depende do valor de , o que não resolve nosso objetivo de encontrar uma expressão geral para a razão. Pode ser que haja uma restrição no problema que não consideramos ou que uma abordagem diferente seja necessária.

Resposta

Após seguir todos os passos e revisar as equações, percebemos que a razão entre a massa do metal ( ) e a massa do líquido ( ) que mantém o sistema em equilíbrio com a dilatação é dada por:
No entanto, uma razão negativa não faz sentido físico neste contexto, o que indica que pode haver uma inconsistência ou erro na interpretação do problema. Recomendo revisar os dados e as suposições para garantir que todos os coeficientes e densidades estejam aplicados corretamente.

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