Uma placa de magnésio em tensão biaxial está submetida a tensões de tração sigmax=30 MPa e sigmay=15 MPa. As deformações na chapa são varepsilonx=550 mu st e varepsilony=100 mu st. Determine o coeficiente de Poisson e o módulo de Young.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma placa de magnésio sob tensão biaxial, ou seja, está sendo puxada em duas direções diferentes. As tensões aplicadas são sigmax = 30,MPa e sigmay = 15,MPa. As deformações correspondentes são varepsilonx = 550,must e varepsilony = 100,must. Nosso objetivo aqui é encontrar o coeficiente de Poisson ( nu) e o módulo de Young ( E). Para isso, vamos precisar usar as equações de deformação na mecânica dos materiais que relacionam tensão e deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das equações de deformação para tensão biaxial. Elas relacionam as deformações nas direções x e y com as tensões aplicadas e os parâmetros do material (módulo de Young e coeficiente de Poisson):
varepsilonx = sigmax - nu sigmayE
varepsilony = sigmay - nu sigmaxE
Essas duas equações nos dão um sistema para resolver as incógnitas nu e E.

Passo 3

Vamos substituir os valores conhecidos nas equações. Mas antes, é importante converter os must (microstrain) para números decimais. Sabemos que 1,must = 10^-6.
Então:
varepsilonx = 550 times 10^-6 = 0,00055
varepsilony = 100 times 10^-6 = 0,0001
Substituindo na primeira equação:
0,00055 = 30 - 15nuE
E na segunda equação:
0,0001 = 15 - 30nuE

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
30 - 15nu = 0,00055 E (1)
15 - 30nu = 0,0001 E (2)
Podemos resolver esse sistema para encontrar o coeficiente de Poisson nu primeiro.
Vamos isolar E na equação (2):
E = 15 - 30nu0,0001
E = 150000 - 300000nu

Passo 5

Agora, vamos substituir E na equação (1):
30 - 15nu = 0,00055 (150000 - 300000nu)
Multiplicando os termos:
30 - 15nu = 82,5 - 165nu
Agora, vamos reunir os termos com nu de um lado e as constantes do outro:
-15nu + 165nu = 82,5 - 30
150nu = 52,5
Então, isolando nu:
nu = 52,5150
nu = 0,35

Passo 6

Agora que temos o valor de nu, vamos encontrar o módulo de Young E usando a expressão que isolamos antes:
E = 150000 - 300000 times 0,35
E = 150000 - 105000
E = 45000,MPa ou 45,GPa

Resposta

O coeficiente de Poisson é nu = 0,35 e o módulo de Young é E = 45,GPa.

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