Um vazamento de uma indústria de pesticidas atingiu um lago local gerando uma mancha de resíduos em formato circular. A mancha possui espessura de 0,2 pés e depois de seu raio atingir 80 pés, ela passa a aumentar uma taxa de 0,75 pé por minuto. A que taxa (pés por minuto) o resíduo vaza quando o raio é 80 pés.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um vazamento de pesticidas que forma uma mancha circular em um lago. Essa mancha tem uma espessura constante de 0,2 pés. Depois que o raio da mancha atinge 80 pés, ele começa a aumentar a uma taxa de 0,75 pés por minuto. A pergunta é: Qual é a taxa de vazamento do resíduo quando o raio está em 80 pés?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de calculo diferencial, especificamente relacionados a taxas de variação. Precisamos relacionar a taxa de mudança do raio com a taxa de vazamento do resíduo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o volume do resíduo está relacionado ao raio da mancha. Como a mancha é circular e tem uma espessura constante, podemos considerar o volume
como o volume de um cilindro.
A fórmula para o volume de um cilindro é:
onde:
-
é o volume, -
é o raio, -
é a altura (ou espessura neste caso).
Passo 3
Agora, queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relaç��o ao tempo usando a regra da cadeia.
Derivando ambos os lados em relação ao tempo
:
Aqui:
-
é a taxa de vazamento do resíduo que queremos encontrar, -
é o raio da mancha, -
é a espessura da mancha (0,2 pés), -
é a taxa de aumento do raio (0,75 pés por minuto).
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
Então:
Resposta
A taxa de vazamento do resíduo quando o raio está em 80 pés é
pés cúbicos por minuto, aproximadamente 75,4 pés cúbicos por minuto.
Exercícios relacionados
Derive a função.
Calcular os limites nos exercícios 18 a 37 usando as propriedades de Limites.
.
Se
, calcule
e
sabendo que
e
.