As vazões serão máximas para o ângulo
de inclinação correspondente a área máxima desta seção em particular? Prove.
Observe que a vazão em um canal pode ser calculada pela equação de Manning:
Onde n é o número de Manning, So é a declividade do fundo do canal, A é a área molhada e P é o perímetro molhado. Nesta questão n e
são mantidos constantes.
Observe que a vazão em um canal pode ser calculada pela equação de Manning:
Passo 1
Vamos entender a questão: queremos saber se a vazão
é máxima quando o ângulo
de inclinação faz com que a área molhada
da seção transversal seja a maior possível. Estamos trabalhando com a equação de Manning para vazão em canais, onde
e
são constantes. Para resolver isso, vamos precisar relacionar a área
e o perímetro molhado
com o ângulo
e ver como isso afeta a vazão
.
Passo 2
A equação de Manning é dada por:
Como
e
são constantes, podemos simplificar a relação para:
Isso significa que a vazão
depende da área molhada
e do perímetro molhado
.
Passo 3
Para verificar se a vazão é máxima quando a área
é máxima, precisamos analisar como
se comporta em relação a
. Geralmente, ao aumentar
, o perímetro
também aumenta, mas não necessariamente na mesma proporção que
. A equação mostra que
aumenta com
e diminui com
. Então, mesmo que
seja maximizada, se
aumentar de forma que a fração
não seja máxima, a vazão
pode não ser máxima.
Passo 4
Para que
seja máxima, é preciso encontrar o ponto onde a derivada de
em relação a
é zero. Isso envolve diferenciar a expressão
em relação a
e encontrar o
que satisfaz essa condição. Geralmente, esse ponto não coincide exatamente com o
que maximiza
, pois o comportamento do perímetro
também influencia a vazão.
Resposta
Não, a vazão
não é necessariamente máxima no ângulo
que maximiza a área
da seção. Isso ocorre porque, embora
aumente, o perímetro
também pode aumentar de forma que a fração
não seja máxima. Portanto, a vazão máxima depende tanto da área quanto do perímetro, e o ângulo
que maximiza
não garante, por si só, a maior vazão possível.
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, usando a regra da cadeia:
e
R.:
R.:
©
Estude os sinais das seguintes funções definidas em
:
a)
a)