Um veículo espacial está viajando a em relação à Terra, quando o motor de descarga do foguete é desengatado, retrocedendo com velocidade de relativamente ao módulo de comando. A massa do motor é quatro vezes maior que a massa do módulo. Qual é o valor da velocidade do módulo de comando logo após a separação?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um veículo espacial viajando a em relação à Terra. Esse veículo é composto por duas partes principais: o módulo de comando e o motor de descarga. Quando o motor é desengatado, ele começa a retroceder com uma velocidade de em relação ao módulo de comando. Sabemos também que a massa do motor é quatro vezes maior que a do módulo. Nosso objetivo é descobrir qual será a velocidade do módulo de comando imediatamente após a separação do motor. Para resolver isso, vamos usar o conceito de conservação da quantidade de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as massas:
  • Seja a massa do módulo de comando.
  • Então, a massa do motor é .
Antes da separação, o sistema (módulo + motor) está se movendo junto a uma velocidade de . A quantidade de movimento total inicial ( ) do sistema é a soma das quantidades de movimento do módulo e do motor:

Passo 3

Após a separação, temos dois corpos com velocidades diferentes:
  • O motor está retrocedendo a em relação ao módulo. Vamos chamar a velocidade do módulo após a separação de .
  • Então, a velocidade do motor em relação à Terra será .
A quantidade de movimento final ( ) será a soma das quantidades de movimento do módulo e do motor após a separação:

Passo 4

Pela lei da conservação da quantidade de movimento, sabemos que a quantidade de movimento total do sistema antes da separação é igual à quantidade de movimento total após a separação. Portanto:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Factorando:

Passo 6

Agora, vamos isolar :
Primeiro, some em ambos os lados:
Agora, divida ambos os lados por :

Resposta

A velocidade do módulo de comando logo após a separação é de .

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