A velocidade de um elétron é dada por
. Ele penetra numa região onde existe um campo magnético dado por
.
b) Escreva a expressão, em função dos vetores unitários, para a força magnética exercida sobre o elétron e obtenha a equação para o raio da trajetória executada pelo elétron.
b) Escreva a expressão, em função dos vetores unitários, para a força magnética exercida sobre o elétron e obtenha a equação para o raio da trajetória executada pelo elétron.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a força magnética que atua num elétron que está se movendo. A matéria aqui envolve o movimento de cargas em campos magnéticos e como calcular a força magnética usando vetores. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial entre a velocidade do elétron e o campo magnético, além de relacionar isso com o raio da trajetória que o elétron vai seguir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força magnética que atua sobre uma carga elétrica em movimento é dada pela fórmula:
onde:
- $ q $ é a carga do elétron,
- $ \vec{v} $ é a velocidade do elétron,
- $ \vec{B} $ é o campo magnético,
- $ \times $ representa o produto vetorial.
Passo 3
Agora, vamos substituir os vetores dados no enunciado:
O produto vetorial $ \vec{v} \times \vec{B} $ será:
Passo 4
Calculando o produto vetorial termo a termo:
- $ v_{x} \hat{\mathbf{x}} \times B_{z} \hat{\mathbf{z}} = v_{x} B_{z} (\hat{\mathbf{x}} \times \hat{\mathbf{z}}) = v_{x} B_{z} \hat{\mathbf{y}} $
- $ v_{y} \hat{\mathbf{y}} \times B_{z} \hat{\mathbf{z}} = v_{y} B_{z} (\hat{\mathbf{y}} \times \hat{\mathbf{z}}) = -v_{y} B_{z} \hat{\mathbf{x}} $
- $ v_{z} \hat{\mathbf{z}} \times B_{z} \hat{\mathbf{z}} = 0 $ (porque o produto vetorial de paralelos é zero)
Então, a força magnética fica:
Passo 5
Agora, para encontrar o raio da trajetória, sabemos que a força magnética fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular do elétron. A força centrípeta é dada por:
onde:
- $ m $ é a massa do elétron,
- $ v_{\perp} $ é a componente da velocidade perpendicular ao campo magnético,
- $ r $ é o raio da trajetória.
A força magnética também é:
Igualando as duas expressões:
Passo 6
Resolvendo para $ r $:
Então, o raio da trajetória do elétron depende da massa, da velocidade perpendicular ao campo magnético, da carga do elétron e da intensidade do campo magnético.
Resposta
A força magnética sobre o elétron é $ \vec{F} = q B_{z} \left( v_{x} \hat{\mathbf{y}} - v_{y} \hat{\mathbf{x}} \right) $ e o raio da trajetória do elétron é $ r = \dfrac{m v_{\perp}}{q B_{z}} $.