A velocidade v de um foguete Saturno V, em voo vertical perto da superfície da Terra, pode ser medida por: v=uln (M/M−mt)-ondeu=2510m/s=velocidade de exaustão em relação ao foguete M=2,8×106kg= massa do foguete na decolagem m=13,3×103kg/s= taxa de consumo de combustível g=9,81m/s^2= aceleração gravitacional t= tempo medido a partir da decolagem Determine o tempo em que o foguete atinge a velocidade do som(355m/s). Utilize, para aproximação inicial, o intervalo [70,80].
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um foguete Saturno V que está decolando verticalmente perto da Terra. A velocidade desse foguete é dada pela fórmula:
Onde:
- $ u = 2510 , m/s $ é a velocidade de exaustão em relação ao foguete.
- $ M = 2,8 \times 10^6 , kg $ é a massa do foguete na decolagem.
- $ m = 13,3 \times 10^3 , kg/s $ é a taxa de consumo de combustível.
- $ g = 9,81 , m/s^2 $ é a aceleração gravitacional.
- $ t $ é o tempo após a decolagem.
Queremos descobrir quanto tempo ($ t $) o foguete leva para atingir a velocidade do som, que é $ 355 , m/s $. Vamos usar o intervalo inicial de [70, 80] segundos para nossa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir os valores conhecidos na equação para facilitar:
Agora, nosso objetivo é isolar $ t $.
Passo 3
Vamos começar dividindo ambos os lados da equação por $ 2510 $ para simplificar:
Calculando o lado esquerdo:
Então, temos:
Passo 4
Para eliminar o logaritmo natural ($ \ln $), vamos aplicar a função exponencial em ambos os lados da equação:
Calculando o lado esquerdo:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ t $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador:
Distribuindo o $ 1,1515 $:
Calculando os produtos:
Passo 6
Vamos isolar $ t $. Subtraímos $ 3,2242 \times 10^6 $ de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por $ -15,31 \times 10^3 $:
Passo 7
Observando o resultado obtido, percebemos que $ t \approx 27,73 $ segundos está fora do intervalo inicial de [70, 80] segundos. Isso indica que pode ter ocorrido algum erro nos cálculos ou nas aproximações feitas.
Vamos revisar rapidamente:
Ao aplicar o exponencial, o valor $ e^{0,1412} $ realmente é aproximadamente $ 1,1515 $. No entanto, ao multiplicar $ 1,1515 \times 2,8 \times 10^6 $, o resultado correto é:
E:
Dividindo:
Parece que o resultado está consistentemente fora do intervalo sugerido. Pode ser que a aproximação inicial precise ser ajustada ou que uma metodologia iterativa seja necessária para refinar o valor de $ t $.
Resposta
Após resolver a equação, o tempo aproximado para o foguete atingir a velocidade do som é de aproximadamente 27,73 segundos. No entanto, como esse valor está fora do intervalo inicial sugerido [70, 80] segundos, recomenda-se revisar os cálculos ou utilizar métodos de aproximação mais precisos para obter um resultado dentro do intervalo esperado.