(Velocidade Instantânea) Um carro percorre uma trajetória retilínea, e sua posição
, em metros, é dada pela função
, onde
é o tempo em segundos. Pergunta-se: qual é a velocidade do carro exatamente no instante
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre velocidade instantânea. A situação é que um carro está se movendo em linha reta, e a posição dele em função do tempo é dada por
metros, onde
é o tempo em segundos. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade do carro exatamente no instante
segundos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especificamente sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação como a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em termos de cálculo, isso significa que a velocidade é a derivada da função de posição
em relação a
. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos derivar a função
. A derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso:
Então, a função da velocidade em função do tempo é
.
Passo 4
Com a função da velocidade
, agora só precisamos encontrar o valor dela no instante
segundos:
Portanto, a velocidade do carro no momento de 3 segundos é de 30 metros por segundo.
Resposta
A velocidade do carro no instante
segundos é de 30 m/s.
Exercícios relacionados
Considere a seguinte função:
Calcule
e explique por que não podemos calcular
.
Uma nova vacina foi desenvolvida para combater uma epidemia de uma doença infecciosa. A eficácia da vacina,
, em porcentagem, após
dias de vacinação, é modelada pela função:
Essa função representa como a eficácia da vacina aumenta ao longo do tempo após a vacinação.
(Deformação em estruturas) Um pilar de concreto armado de 10 metros de altura é projetado para suportar cargas verticais em um edifício de múltiplos andares. Esse pilar sofre uma deformação devido a um peso aplicado em sua extremidade superior, que simula a carga total dos andares superiores. A deformação
, em milímetros, é descrita pela função
onde
é a força em Newtons aplicada no topo do pilar.
Sabendo que a solidificação completa é essencial para evitar defeitos internos, como porosidades e trincas, discuta como o valor de
afeta o tempo necessário para alcançar uma fração solidificada próxima de 1 , ou seja, uma solidificação praticamente completa.