(Velocidade Instantânea) Um carro percorre uma trajetória retilínea, e sua posição , em metros, é dada pela função , onde é o tempo em segundos. Pergunta-se: qual é a velocidade do carro exatamente no instante ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre velocidade instantânea. A situação é que um carro está se movendo em linha reta, e a posição dele em função do tempo é dada por metros, onde é o tempo em segundos. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade do carro exatamente no instante segundos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especificamente sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação como a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em termos de cálculo, isso significa que a velocidade é a derivada da função de posição em relação a . Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos derivar a função . A derivada de em relação a é . Aplicando isso:
Então, a função da velocidade em função do tempo é .

Passo 4

Com a função da velocidade , agora só precisamos encontrar o valor dela no instante segundos:
Portanto, a velocidade do carro no momento de 3 segundos é de 30 metros por segundo.

Resposta

A velocidade do carro no instante segundos é de 30 m/s.

Exercícios relacionados

Considere a seguinte função:
Calcule e explique por que não podemos calcular .
Uma nova vacina foi desenvolvida para combater uma epidemia de uma doença infecciosa. A eficácia da vacina, , em porcentagem, após dias de vacinação, é modelada pela função:
Essa função representa como a eficácia da vacina aumenta ao longo do tempo após a vacinação.
(Deformação em estruturas) Um pilar de concreto armado de 10 metros de altura é projetado para suportar cargas verticais em um edifício de múltiplos andares. Esse pilar sofre uma deformação devido a um peso aplicado em sua extremidade superior, que simula a carga total dos andares superiores. A deformação , em milímetros, é descrita pela função
onde é a força em Newtons aplicada no topo do pilar.
Sabendo que a solidificação completa é essencial para evitar defeitos internos, como porosidades e trincas, discuta como o valor de afeta o tempo necessário para alcançar uma fração solidificada próxima de 1 , ou seja, uma solidificação praticamente completa.