Uma nova vacina foi desenvolvida para combater uma epidemia de uma doença infecciosa. A eficácia da vacina,
, em porcentagem, após
dias de vacinação, é modelada pela função:
Essa função representa como a eficácia da vacina aumenta ao longo do tempo após a vacinação.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos uma função que descreve a eficácia de uma vacina ao longo do tempo após a vacinação. A matéria envolvida aqui é o modelo matemático de crescimento, especificamente usando funções exponenciais. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como essas funções funcionam e como aplicá-las para determinar a eficácia da vacina em diferentes momentos.
Passo 2
A função que nos foi dada é:
Aqui,
representa a eficácia da vacina em porcentagem após
dias da vacinação. Vamos entender cada parte dessa função.
Passo 3
Primeiro, observamos a parte exponencial
. Essa é uma função exponencial que cresce com o tempo
. O que ela está fazendo dentro da função maior? Vamos ver:
Essa expressão é uma função logística, que é frequentemente usada para modelar crescimento que se estabiliza em um certo ponto. No nosso caso, conforme
aumenta,
também aumenta, fazendo com que a fração
diminua.
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece com
conforme
varia. Por exemplo, se
dias:
Calculando isso:
Então,
Isso significa que, no dia da vacinação, a eficácia é de aproximadamente 0,67%.
Passo 5
Vamos calcular a eficácia após 10 dias:
Calculando
:
Então,
Portanto, após 10 dias, a eficácia aumenta para aproximadamente 1,8%.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito, ou seja, muitos dias depois da vacinação:
Quando
vai para o infinito,
também vai para o infinito, então:
Portanto,
Isso significa que, com o tempo suficiente, a eficácia da vacina se aproxima de 100%.
Resposta
A eficácia da vacina,
, aumenta ao longo do tempo após a vacinação. No dia da vacinação (
), a eficácia é de aproximadamente 0,67%. Após 10 dias, essa eficácia sobe para cerca de 1,8%. Conforme mais dias passam, a eficácia continua aumentando e, no limite, conforme
tende ao infinito, a eficácia se aproxima de 100%. Ou seja, a vacina se torna totalmente eficaz com o tempo.
Exercícios relacionados
Determine uma fórmula para
nas funções
e
indicadas.
(b) e
;
(b)
Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo:
Considere a seguinte função:
Calcule
e explique por que não podemos calcular
.
(Velocidade Instantânea) Um carro percorre uma trajetória retilínea, e sua posição
, em metros, é dada pela função
, onde
é o tempo em segundos. Pergunta-se: qual é a velocidade do carro exatamente no instante
?