Uma nova vacina foi desenvolvida para combater uma epidemia de uma doença infecciosa. A eficácia da vacina, , em porcentagem, após dias de vacinação, é modelada pela função:
Essa função representa como a eficácia da vacina aumenta ao longo do tempo após a vacinação.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos uma função que descreve a eficácia de uma vacina ao longo do tempo após a vacinação. A matéria envolvida aqui é o modelo matemático de crescimento, especificamente usando funções exponenciais. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como essas funções funcionam e como aplicá-las para determinar a eficácia da vacina em diferentes momentos.

Passo 2

A função que nos foi dada é:
Aqui, representa a eficácia da vacina em porcentagem após dias da vacinação. Vamos entender cada parte dessa função.

Passo 3

Primeiro, observamos a parte exponencial . Essa é uma função exponencial que cresce com o tempo . O que ela está fazendo dentro da função maior? Vamos ver:
Essa expressão é uma função logística, que é frequentemente usada para modelar crescimento que se estabiliza em um certo ponto. No nosso caso, conforme aumenta, também aumenta, fazendo com que a fração diminua.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece com conforme varia. Por exemplo, se dias:
Calculando isso:
Então,
Isso significa que, no dia da vacinação, a eficácia é de aproximadamente 0,67%.

Passo 5

Vamos calcular a eficácia após 10 dias:
Calculando :
Então,
Portanto, após 10 dias, a eficácia aumenta para aproximadamente 1,8%.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito, ou seja, muitos dias depois da vacinação:
Quando vai para o infinito, também vai para o infinito, então:
Portanto,
Isso significa que, com o tempo suficiente, a eficácia da vacina se aproxima de 100%.

Resposta

A eficácia da vacina, , aumenta ao longo do tempo após a vacinação. No dia da vacinação ( ), a eficácia é de aproximadamente 0,67%. Após 10 dias, essa eficácia sobe para cerca de 1,8%. Conforme mais dias passam, a eficácia continua aumentando e, no limite, conforme tende ao infinito, a eficácia se aproxima de 100%. Ou seja, a vacina se torna totalmente eficaz com o tempo.

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(b) e ;
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