Qual é a velocidade de uma partícula cuja energia cinética é
(a) igual à sua energia de repouso?
(b) cinco vezes maior do que o valor de sua energia de repouso?
; (b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de física sobre velocidade e energia cinética! A gente quer descobrir quão rápido uma partícula está se movendo quando sua energia cinética é igual ou maior que a sua energia de repouso. Para isso, vamos usar a teoria da relatividade especial, que lida com objetos que se movem perto da velocidade da luz. Vamos precisar entender as fórmulas de energia cinética e energia de repouso na relatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas importantes:
A energia de repouso ( ) de uma partícula é dada por:
onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a velocidade da luz.
A energia cinética ( ) na relatividade é:
onde:
e é a velocidade da partícula.

Passo 3

Vamos resolver a parte (a): a velocidade quando a energia cinética é igual à energia de repouso.
Isso significa que:
Substituindo as fórmulas:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Então:

Passo 4

Agora, sabemos que:
Vamos resolver para :
Invertendo ambos os lados:
Elevando ao quadrado:
Isolando :
Então:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): a velocidade quando a energia cinética é cinco vezes a energia de repouso.
Então:
Substituindo as fórmulas:
Simplificando:
Logo:

Passo 6

Usando novamente a definição de :
Invertendo:
Elevando ao quadrado:
Isolando :
Portanto:

Resposta

(a)
(b)

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