Qual é a velocidade de uma partícula cuja energia cinética é
(a) igual à sua energia de repouso?
(b) cinco vezes maior do que o valor de sua energia de repouso?
R: ( a ) v=0,866 c; (b) v=0,986 c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de física sobre velocidade e energia cinética! A gente quer descobrir quão rápido uma partícula está se movendo quando sua energia cinética é igual ou maior que a sua energia de repouso. Para isso, vamos usar a teoria da relatividade especial, que lida com objetos que se movem perto da velocidade da luz. Vamos precisar entender as fórmulas de energia cinética e energia de repouso na relatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas importantes:
A energia de repouso ( E0 = m c^2 ) de uma partícula é dada por:
Ek = (gamma - 1) m c^2
onde:
  • gamma = 1raiz1 - v^2c^2 é a massa da partícula,
  • é a velocidade da luz.
A energia cinética ( ) na relatividade é:
onde:
e é a velocidade da partícula.

Passo 3

Vamos resolver a parte (a): a velocidade quando a energia cinética é igual à energia de repouso.
Isso significa que:
Ek = E0
Substituindo as fórmulas:
(gamma - 1) m c^2 = m c^2
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por gamma - 1 = 1 :
gamma = 2
Então:

Passo 4

Agora, sabemos que:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2 = 2
Vamos resolver para 1raiz1 - v^2c^2 = 2 :
raiz1 - v^2c^2 = 12
Invertendo ambos os lados:
1 - v^2c^2 = 14
Elevando ao quadrado:
v^2c^2 = 1 - 14 = 34
Isolando v = c raiz34 = c times raiz32 approx 0,866 , c :
Então:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): a velocidade quando a energia cinética é cinco vezes a energia de repouso.
Então:
Ek = 5 E0
Substituindo as fórmulas:
(gamma - 1) m c^2 = 5 m c^2
Simplificando:
gamma - 1 = 5
Logo:
gamma = 6

Passo 6

Usando novamente a definição de 1raiz1 - v^2c^2 = 6 :
raiz1 - v^2c^2 = 16
Invertendo:
1 - v^2c^2 = 136
Elevando ao quadrado:
v^2c^2 = 1 - 136 = 3536
Isolando v = c raiz3536 = c times raiz356 approx 0,986 , c :
Portanto:

Resposta

(a)
(b)

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