A velocidade de uma partícula é dada por , onde v está em metros por segundo e t em segundos.
(a) Calcular a aceleração média no intervalo que se inicia em e termina em ;
(b) Determinar a expressão para e fazer os gráficos de e a(t);
© Determine (posição da partícula em função do tempo) e use este resultado para determinar seu deslocamento durante o intervalo até . Qual a velocidade média neste intervalo de tempo? Esboce o gráfico de .
(d) Qual a distância D percorrida no intervalo ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Cinemática! A gente tem a velocidade de uma partícula expressa pela função , onde está em metros por segundo e em segundos. Vamos precisar usar conceitos de aceleração média, aceleração instantânea, integração para encontrar a posição, e entender a diferença entre deslocamento e distância percorrida. Vamos resolver cada um dos itens passo a passo.

Passo 2

(a) Calcular a aceleração média no intervalo que se inicia em s e termina em s
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração média ( ) em um intervalo de tempo é dada pela variação da velocidade dividida pela variação de tempo:
Aqui, s e s. Vamos calcular as velocidades nesses instantes:
Agora, aplicando na fórmula da aceleração média:

Passo 3

(b) Determinar a expressão para e fazer os gráficos de e
A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Dada a função , a derivada em relação a é:
Então, a aceleração é constante e igual a .
Para os gráficos:
  • Gráfico de : É uma reta com inclinação 8 e intercepto em .
  • Gráfico de : É uma reta horizontal no valor de .

Passo 4

© Determine (posição da partícula em função do tempo) e use este resultado para determinar seu deslocamento durante o intervalo s até s. Qual a velocidade média neste intervalo de tempo? Esboce o gráfico de .
Para encontrar a posição , precisamos integrar a função velocidade :
Onde é a constante de integração. Sem condições iniciais, podemos considerar para simplificar:
Deslocamento entre s e s:
Velocidade média no intervalo:
Gráfico de : É uma parábola com concavidade para cima, representando o movimento acelerado da partícula.

Passo 5

(d) Qual a distância D percorrida no intervalo s?
A distância percorrida é o valor absoluto do deslocamento. Vamos calcular e :
â

Resposta

(a) A aceleração média no intervalo de 3 s a 4 s é .
(b) A expressão da aceleração é . Os gráficos de e são uma reta inclinada e uma linha horizontal, respectivamente.
© A posição da partícula é metros. O deslocamento de 2 s a 6 s é 100 m, e a velocidade média nesse intervalo é .
(d) A distância percorrida no intervalo de 0 s a 2 s é .

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