A velocidade de uma partícula é dada por v(t)=8 t-7, onde v está em metros por segundo e t em segundos.
(a) Calcular a aceleração média no intervalo que se inicia em t=3 s e termina em t=4 s;
(b) Determinar a expressão para a(t) e fazer os gráficos de v(t) e a(t);
© Determine x(t) (posição da partícula em função do tempo) e use este resultado para determinar seu deslocamento durante o intervalo t=2 s até t=6 s. Qual a velocidade média neste intervalo de tempo? Esboce o gráfico de x(t).
(d) Qual a distância D percorrida no intervalo 0 <= t <= 2 s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Cinemática! A gente tem a velocidade de uma partícula expressa pela função , onde está em metros por segundo e em segundos. Vamos precisar usar conceitos de aceleração média, aceleração instantânea, integração para encontrar a posição, e entender a diferença entre deslocamento e distância percorrida. Vamos resolver cada um dos itens passo a passo.

Passo 2

(a) Calcular a aceleração média no intervalo que se inicia em am = v(t2) - v(t1)t2 - t1 s e termina em v(3) = 8(3) - 7 = 24 - 7 = 17 , m/s s
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração média ( v(4) = 8(4) - 7 = 32 - 7 = 25 , m/s ) em um intervalo de tempo é dada pela variação da velocidade dividida pela variação de tempo:
am = 25 - 174 - 3 = 81 = 8 , m/s^2
Aqui, s e s. Vamos calcular as velocidades nesses instantes:
Agora, aplicando na fórmula da aceleração média:

Passo 3

(b) Determinar a expressão para a(t) = dvdt e fazer os gráficos de a(t) = ddt(8t - 7) = 8 e
A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Dada a função , a derivada em relação a é:
Então, a aceleração é constante e igual a .
Para os gráficos:
  • Gráfico de : É uma reta com inclinação 8 e intercepto em .
  • Gráfico de : É uma reta horizontal no valor de .

Passo 4

© Determine x(t) = integral v(t) , dt = integral (8t - 7) , dt = 4t^2 - 7t + C (posição da partícula em função do tempo) e use este resultado para determinar seu deslocamento durante o intervalo x(t) = 4t^2 - 7t s até x(6) = 4(6)^2 - 7(6) = 144 - 42 = 102 , m s. Qual a velocidade média neste intervalo de tempo? Esboce o gráfico de x(2) = 4(2)^2 - 7(2) = 16 - 14 = 2 , m .
Para encontrar a posição Deslocamento = x(6) - x(2) = 102 - 2 = 100 , m , precisamos integrar a função velocidade vm = DeslocamentoDe:
Onde é a constante de integração. Sem condições iniciais, podemos considerar para simplificar:
Deslocamento entre s e s:
Velocidade média no intervalo:
Gráfico de : É uma parábola com concavidade para cima, representando o movimento acelerado da partícula.

Passo 5

(d) Qual a distância D percorrida no intervalo x(2) = 4(2)^2 - 7(2) = 16 - 14 = 2 , m s?
A distância percorrida é o valor absoluto do deslocamento. Vamos calcular x(0) = 4(0)^2 - 7(0) = 0 , m e Distância = |x(2) - x(0)| = |2 - 0| = 2 , m :
â

Resposta

(a) A aceleração média no intervalo de 3 s a 4 s é .
(b) A expressão da aceleração é . Os gráficos de e são uma reta inclinada e uma linha horizontal, respectivamente.
© A posição da partícula é metros. O deslocamento de 2 s a 6 s é 100 m, e a velocidade média nesse intervalo é .
(d) A distância percorrida no intervalo de 0 s a 2 s é .

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