A velocidade na saída do tanque é igual a kh^1 / 2, e a razão entre a área do tubo e a área do tanque é beta. Determine o tempo para o tanque se esvaziar completamente. (Resp.: t=2 h0 ^1 / 2 /(k beta))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a velocidade de saída de um tanque e a razão entre as áreas do tubo e do tanque. O conteúdo principal aqui é de cinemática de fluidos, especificamente usando a Lei de Torricelli. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial para determinar o tempo necessário para o tanque esvaziar completamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a velocidade de saída do fluido. A velocidade na saída do tanque é dada por:
v = k raizh
Aqui, $ v $ é a velocidade de saída, $ k $ é uma constante, e $ h $ é a altura do fluido no tanque.

Passo 3

A razão entre a área do tubo ($ A_t At á A $) é dada por:
A
Essa relação nos ajuda a conectar a velocidade de saída com a variação da altura do fluido no tanque ao longo do tempo.

Passo 4

Para encontrar o tempo para o tanque esvaziar, precisamos relacionar a taxa de variação da altura $ h $ com a velocidade de saída. A taxa de descida do nível do fluido é proporcional à área do tubo e à velocidade de saída:
h
O sinal negativo indica que a altura está diminuindo com o tempo.

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial simples:
dhdt = -beta k raizh
Vamos separar as variáveis para integrar:
dhraizh = -beta k , dt

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral dhraizh = -integral beta k , dt
A integral do lado esquerdo é $ 2\sqrt{h} $ e do lado direito é $ -\beta k t + C $, onde $ C $ é a constante de integração.
2raizh

Passo 7

Para encontrar a constante $ C $, consideramos o tempo inicial $ t = 0 $ onde a altura do fluido é $ h_0 $:
C
Então, a equação fica:
t = 0

Passo 8

Queremos determinar o tempo $ t $ quando o tanque está completamente vazio, ou seja, quando $ h = 0 $:
t
Simplificando:
h = 0

Passo 9

Resolvendo para $ t $:
t
beta k t = 2raizh0

Resposta

O tempo para o tanque se esvaziar completamente é:
t = 2 raizh0beta k

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