A velocidade, V, de uma onda de superfície livre devido à gravidade é, em águas profundas, uma função da profundidade, D, da massa específica, rho, da aceleração da gravidade, g, e da tensão, sigma. Use a análise dimensional para determinar a dependência funcional de V em relação às outras variáveis. Expresse V na forma mais simples possível.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que foi pedido. A questão nos diz que a velocidade, , de uma onda de superfície livre devido à gravidade em águas profundas depende de quatro variáveis: a profundidade , a massa específica , a aceleração da gravidade e a tensão superficial . Nosso objetivo é usar a análise dimensional para descobrir como depende dessas variáveis e expressar da forma mais simples possível. Para isso, vamos precisar conhecer as dimensões físicas de cada variável envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as dimensões de cada uma das variáveis:
  • Velocidade, :
  • Profundidade, :
  • Massa específica, :
  • Aceleração da gravidade, :
  • Tensão superficial, :
Aqui, representa massa, comprimento e tempo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a encontrar relações entre variáveis usando suas dimensões. O teorema diz que podemos reduzir o número de variáveis em uma equação dimensionalmente consistente.
Temos 5 variáveis e 3 dimensões fundamentais (massa, comprimento e tempo), então o número de grupos Pi será . Ou seja, teremos duas combinações dimensionais.

Passo 4

Vamos escolher como variáveis de base V = f(D, rho, g, sigma) , e . Agora, vamos expressar as demais variáveis em termos dessas bases.
Queremos encontrar uma relação da forma:
Usando as dimensões, buscamos uma combinação de , , e que nos dê a dimensão de velocidade .

Passo 5

Proponho que a velocidade V = k cdot D^a cdot rho^b cdot g^c cdot sigma^d seja proporcional a uma potência de cada uma das variáveis. Assim, podemos escrever:
onde é uma constante adimensional e , , , são expoentes que precisamos determinar.

Passo 6

Agora, igualamos as dimensões de ambos os lados da equação:
[L][T]^-1 = [L]^a cdot [M]^b [L]^-3b cdot [L]^c [T]^-2c cdot [M]^d [T]^-2d
Simplificando:
[L][T]^-1 = [M]^b+d [L]^a-3b+c [T]^-2c-2d

Passo 7

Para que as dimensões sejam iguais dos dois lados, os expoentes de , e devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
  1. (para )
  2. (para )
  3. (para )

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da equação 1:
d = -b
Substituindo na equação 3:
-2c - 2(-b) = -1
-2c + 2b = -1
2b - 2c = -1
Dividindo por 2:
b - c = -12
c = b + 12
Agora, substituindo a - 3b + (b + 12) = 1 e a - 2b + 12 = 1 na equação 2:
a - 2b = 12
a = 2b + 12

Passo 9

Podemos escolher um valor para d = -0 = 0 . Vamos assumir c = 0 + 12 = 12 para simplificar.
Então:
a = 2 cdot 0 + 12 = 12

Passo 10

Agora, substituímos os valores de V = k cdot D^1/2 cdot rho^0 cdot g^1/2 cdot sigma^0 , V = k cdot raizD cdot g , e na expressão original:
Simplificando:
Como é uma constante adimensional e buscamos a forma mais simples, podemos considerar .

Resposta

A velocidade V = raizD cdot g da onda de superfície livre em águas profundas é dada por:

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