A velocidade,
, de uma onda de superfície livre devido à gravidade é, em águas profundas, uma função da profundidade,
, da massa específica,
, da aceleração da gravidade,
, e da tensão,
. Use a análise dimensional para determinar a dependência funcional de
em relação às outras variáveis. Expresse
na forma mais simples possível.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que foi pedido. A questão nos diz que a velocidade,
, de uma onda de superfície livre devido à gravidade em águas profundas depende de quatro variáveis: a profundidade
, a massa específica
, a aceleração da gravidade
e a tensão superficial
. Nosso objetivo é usar a análise dimensional para descobrir como
depende dessas variáveis e expressar
da forma mais simples possível. Para isso, vamos precisar conhecer as dimensões físicas de cada variável envolvida.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as dimensões de cada uma das variáveis:
- Velocidade,
: - Profundidade,
: - Massa específica,
: - Aceleração da gravidade,
: - Tensão superficial,
:
Aqui,
representa massa,
comprimento e
tempo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a encontrar relações entre variáveis usando suas dimensões. O teorema diz que podemos reduzir o número de variáveis em uma equação dimensionalmente consistente.
Temos 5 variáveis e 3 dimensões fundamentais (massa, comprimento e tempo), então o número de grupos Pi será
. Ou seja, teremos duas combinações dimensionais.
Passo 4
Vamos escolher como variáveis de base
,
e
. Agora, vamos expressar as demais variáveis em termos dessas bases.
Queremos encontrar uma relação da forma:
Usando as dimensões, buscamos uma combinação de
,
,
e
que nos dê a dimensão de velocidade
.
Passo 5
Proponho que a velocidade
seja proporcional a uma potência de cada uma das variáveis. Assim, podemos escrever:
onde
é uma constante adimensional e
,
,
,
são expoentes que precisamos determinar.
Passo 6
Agora, igualamos as dimensões de ambos os lados da equação:
Simplificando:
Passo 7
Para que as dimensões sejam iguais dos dois lados, os expoentes de
,
e
devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
-
(para ) -
(para ) -
(para )
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Da equação 1:
Substituindo na equação 3:
Dividindo por 2:
Agora, substituindo
e
na equação 2:
Passo 9
Podemos escolher um valor para
. Vamos assumir
para simplificar.
Então:
Passo 10
Agora, substituímos os valores de
,
,
e
na expressão original:
Simplificando:
Como
é uma constante adimensional e buscamos a forma mais simples, podemos considerar
.
Resposta
A velocidade
da onda de superfície livre em águas profundas é dada por: