A velocidade, , de uma onda de superfície livre devido à gravidade é, em águas profundas, uma função da profundidade, , da massa específica, , da aceleração da gravidade, , e da tensão, . Use a análise dimensional para determinar a dependência funcional de em relação às outras variáveis. Expresse na forma mais simples possível.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que foi pedido. A questão nos diz que a velocidade, , de uma onda de superfície livre devido à gravidade em águas profundas depende de quatro variáveis: a profundidade , a massa específica , a aceleração da gravidade e a tensão superficial . Nosso objetivo é usar a análise dimensional para descobrir como depende dessas variáveis e expressar da forma mais simples possível. Para isso, vamos precisar conhecer as dimensões físicas de cada variável envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as dimensões de cada uma das variáveis:
  • Velocidade, :
  • Profundidade, :
  • Massa específica, :
  • Aceleração da gravidade, :
  • Tensão superficial, :
Aqui, representa massa, comprimento e tempo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a encontrar relações entre variáveis usando suas dimensões. O teorema diz que podemos reduzir o número de variáveis em uma equação dimensionalmente consistente.
Temos 5 variáveis e 3 dimensões fundamentais (massa, comprimento e tempo), então o número de grupos Pi será . Ou seja, teremos duas combinações dimensionais.

Passo 4

Vamos escolher como variáveis de base , e . Agora, vamos expressar as demais variáveis em termos dessas bases.
Queremos encontrar uma relação da forma:
Usando as dimensões, buscamos uma combinação de , , e que nos dê a dimensão de velocidade .

Passo 5

Proponho que a velocidade seja proporcional a uma potência de cada uma das variáveis. Assim, podemos escrever:
onde é uma constante adimensional e , , , são expoentes que precisamos determinar.

Passo 6

Agora, igualamos as dimensões de ambos os lados da equação:
Simplificando:

Passo 7

Para que as dimensões sejam iguais dos dois lados, os expoentes de , e devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
  1. (para )
  2. (para )
  3. (para )

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da equação 1:
Substituindo na equação 3:
Dividindo por 2:
Agora, substituindo e na equação 2:

Passo 9

Podemos escolher um valor para . Vamos assumir para simplificar.
Então:

Passo 10

Agora, substituímos os valores de , , e na expressão original:
Simplificando:
Como é uma constante adimensional e buscamos a forma mais simples, podemos considerar .

Resposta

A velocidade da onda de superfície livre em águas profundas é dada por:

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