O agitador de uma máquina de lavar deve ser projetado. A potência , requerida para o agitador deve ser correlacionada com a quantidade de água usada (indicada pela profundidade, , de água). A potência também depende do diâmetro do agitador, , da altura, , da velocidade angular máxima, , da frequência de oscilações, , da massa específica da água, , e da viscosidade da água, . Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre projetar o agitador de uma máquina de lavar. A gente precisa relacionar a potência necessária para o agitador com vários parâmetros: profundidade da água , diâmetro do agitador , altura , velocidade angular máxima , frequência de oscilações , massa específica da água e viscosidade da água . O que a gente tem que fazer é determinar os parâmetros adimensionais que caracterizam esse problema. Ou seja, vamos encontrar combinações dessas variáveis que não dependem das unidades usadas. Para isso, vamos usar o Teorema de Buckingham Pi, que é ótimo para esse tipo de análise.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as variáveis envolvidas e suas dimensões fundamentais. As variáveis são: potência , profundidade , diâmetro , altura , velocidade angular , frequência , massa específica e viscosidade . As dimensões fundamentais que vamos considerar são massa ( ), comprimento ( ) e tempo ( ).
Vamos atribuir as dimensões para cada variável:
  • Potência :
  • Profundidade :
  • Diâmetro :
  • Altura :
  • Velocidade angular :
  • Frequência :
  • Massa específica :
  • Viscosidade :

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Buckingham Pi. Primeiro, contamos quantas variáveis temos e quantas dimensões fundamentais elas envolvem. Temos 8 variáveis e 3 dimensões fundamentais ( , , ). Então, o número de parâmetros adimensionais será .

Passo 4

Escolhemos 3 variáveis como dimensões base. Geralmente, escolhemos aquelas que contêm todas as dimensões fundamentais. Vamos escolher , e como nossas variáveis base.
Agora, vamos formar grupos dimensionais combinando uma variável não base com as base escolhidas.

Passo 5

Vamos formar cada parâmetro adimensional da seguinte maneira:
  1. Para a variável :
    Igualamos as dimensões a 1 e resolvemos para , , . Após resolver, encontramos:
  2. Para a variável :
    Seguindo o mesmo processo, chegamos a:
  3. Para a variável :
    Resolvido, temos:
  4. Para a variável :
    Após resolver, obtemos:
  5. Para a variável :
    Resolvido, resulta em:

Resposta

Os parâmetros adimensionais que caracterizam o problema são:

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