O agitador de uma máquina de lavar deve ser projetado. A potência
, requerida para o agitador deve ser correlacionada com a quantidade de água usada (indicada pela profundidade,
, de água). A potência também depende do diâmetro do agitador,
, da altura,
, da velocidade angular máxima,
, da frequência de oscilações,
, da massa específica da água,
, e da viscosidade da água,
. Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre projetar o agitador de uma máquina de lavar. A gente precisa relacionar a potência
necessária para o agitador com vários parâmetros: profundidade da água
, diâmetro do agitador
, altura
, velocidade angular máxima
, frequência de oscilações
, massa específica da água
e viscosidade da água
. O que a gente tem que fazer é determinar os parâmetros adimensionais que caracterizam esse problema. Ou seja, vamos encontrar combinações dessas variáveis que não dependem das unidades usadas. Para isso, vamos usar o Teorema de Buckingham Pi, que é ótimo para esse tipo de análise.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as variáveis envolvidas e suas dimensões fundamentais. As variáveis são: potência
, profundidade
, diâmetro
, altura
, velocidade angular
, frequência
, massa específica
e viscosidade
. As dimensões fundamentais que vamos considerar são massa (
), comprimento (
) e tempo (
).
Vamos atribuir as dimensões para cada variável:
- Potência
: - Profundidade
: - Diâmetro
: - Altura
: - Velocidade angular
: - Frequência
: - Massa específica
: - Viscosidade
:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Buckingham Pi. Primeiro, contamos quantas variáveis temos e quantas dimensões fundamentais elas envolvem. Temos 8 variáveis e 3 dimensões fundamentais (
,
,
). Então, o número de parâmetros adimensionais será
.
Passo 4
Escolhemos 3 variáveis como dimensões base. Geralmente, escolhemos aquelas que contêm todas as dimensões fundamentais. Vamos escolher
,
e
como nossas variáveis base.
Agora, vamos formar grupos dimensionais
combinando uma variável não base com as base escolhidas.
Passo 5
Vamos formar cada parâmetro adimensional
da seguinte maneira:
-
Para a variável
: Igualamos as dimensões a 1 e resolvemos para, , . Após resolver, encontramos: -
Para a variável
: Seguindo o mesmo processo, chegamos a: -
Para a variável
: Resolvido, temos: -
Para a variável
: Após resolver, obtemos: -
Para a variável
: Resolvido, resulta em:
Resposta
Os parâmetros adimensionais que caracterizam o problema são: