O agitador de uma máquina de lavar deve ser projetado. A potência P, requerida para o agitador deve ser correlacionada com a quantidade de água usada (indicada pela profundidade, H, de água). A potência também depende do diâmetro do agitador, D, da altura, h, da velocidade angular máxima, omegamax , da frequência de oscilações, f, da massa específica da água, rho, e da viscosidade da água, mu. Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre projetar o agitador de uma máquina de lavar. A gente precisa relacionar a potência P necessária para o agitador com vários parâmetros: profundidade da água H, diâmetro do agitador D, altura h, velocidade angular máxima omegamax, frequência de oscilações f, massa específica da água rho e viscosidade da água mu. O que a gente tem que fazer é determinar os parâmetros adimensionais que caracterizam esse problema. Ou seja, vamos encontrar combinações dessas variáveis que não dependem das unidades usadas. Para isso, vamos usar o Teorema de Buckingham Pi, que é ótimo para esse tipo de análise.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as variáveis envolvidas e suas dimensões fundamentais. As variáveis são: potência P, profundidade H, diâmetro D, altura h, velocidade angular omegamax, frequência f, massa específica rho e viscosidade mu. As dimensões fundamentais que vamos considerar são massa ( M), comprimento ( L) e tempo ( T).
Vamos atribuir as dimensões para cada variável:
  • Potência P: [P] = M L^2 T^-3
  • Profundidade H: [H] = L
  • Diâmetro D: [D] = L
  • Altura h: [h] = L
  • Velocidade angular omegamax: [omegamax] = T^-1
  • Frequência f: [f] = T^-1
  • Massa específica rho: [rho] = M L^-3
  • Viscosidade mu: [mu] = M L^-1 T^-1

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Buckingham Pi. Primeiro, contamos quantas variáveis temos e quantas dimensões fundamentais elas envolvem. Temos 8 variáveis e 3 dimensões fundamentais ( M, L, T). Então, o número de parâmetros adimensionais será 8 - 3 = 5.

Passo 4

Escolhemos 3 variáveis como dimensões base. Geralmente, escolhemos aquelas que contêm todas as dimensões fundamentais. Vamos escolher P, H e mu como nossas variáveis base.
Agora, vamos formar grupos dimensionais Pi combinando uma variável não base com as base escolhidas.

Passo 5

Vamos formar cada parâmetro adimensional Pii da seguinte maneira:
  1. Para a variável D:
    Pi1 = D cdot P^a cdot H^b cdot mu^c
    Igualamos as dimensões a 1 e resolvemos para a, b, c. Após resolver, encontramos:
    Pi1 = DH
  2. Para a variável h:
    Pi2 = h cdot P^a cdot H^b cdot mu^c
    Seguindo o mesmo processo, chegamos a:
    Pi2 = hH
  3. Para a variável omegamax:
    Pi3 = omegamax cdot P^a cdot H^b cdot mu^c
    Resolvido, temos:
    Pi3 = omegamax HD^2
  4. Para a variável f:
    Pi4 = f cdot P^a cdot H^b cdot mu^c
    Após resolver, obtemos:
    Pi4 = f H^2mu
  5. Para a variável rho:
    Pi5 = rho cdot P^a cdot H^b cdot mu^c
    Resolvido, resulta em:
    Pi5 = rho H^3mu

Resposta

Os parâmetros adimensionais que caracterizam o problema são:
Pi1 = DH, Pi2 = hH, Pi3 = omegamax HD^2, Pi4 = f H^2mu, Pi5 = rho H^3mu

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