Um projetista de páginas da internet cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição
, onde o tempo té dado em segundos. Determine: O vetor aceleração média, seu módulo e seu ângulo, no intervalo de 0 s à
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a posição de um ponto na tela do computador dada por uma função vetorial
em centímetros, onde
é o tempo em segundos. Queremos descobrir o vetor aceleração média, o módulo dessa aceleração e o ângulo que ela forma, no intervalo de 0 a 2,0 segundos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas, para encontrar velocidades e acelerações médias.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade em qualquer instante de tempo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de
em relação a
.
A posição é:
Derivando em relação a
:
Então, a velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade no início e no final do intervalo de tempo.
Para
:
Para
:
Passo 4
A aceleração média é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Ou seja:
Onde
. Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos calcular o módulo da aceleração média e o ângulo que ela forma com o eixo
.
Módulo:
Ângulo:
Como a aceleração está somente na direção negativa, o ângulo em relação ao eixo
é
.
Como a aceleração está somente na direção
Resposta
A aceleração média é
, com módulo de
e formando um ângulo de
com o eixo
.