Um projetista de páginas da internet cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição r=[(5,0-2,0 t^2) i+5,0 t j] cm, onde o tempo té dado em segundos. Determine: O vetor aceleração média, seu módulo e seu ângulo, no intervalo de 0 s à 2,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a posição de um ponto na tela do computador dada por uma função vetorial em centímetros, onde é o tempo em segundos. Queremos descobrir o vetor aceleração média, o módulo dessa aceleração e o ângulo que ela forma, no intervalo de 0 a 2,0 segundos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas, para encontrar velocidades e acelerações médias.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade em qualquer instante de tempo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de r(t) = [(5,0 - 2,0 t^2) i + 5,0 t j] , cm em relação a v(t) = dr(t)dt = [-4,0 t i + 5,0 j] , cm/s .
A posição é:
v(t) = (-4,0 t) i + 5,0 j , cm/s
Derivando em relação a :
Então, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade no início e no final do intervalo de tempo.
Para v(0) = (-4,0 times 0) i + 5,0 j = 0 i + 5,0 j , cm/s :
v(2,0) = (-4,0 times 2,0) i + 5,0 j = -8,0 i + 5,0 j , cm/s
Para :

Passo 4

A aceleração média é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Ou seja:
amédia = v(2,0) - v(0)Deé
Onde amédia = (-8,0 i + 5,0 j) - (0 i + 5,0 j)2,0 = -8,0 i2,0 = -4,0 i , cm/s^2 . Substituindo:
é

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo da aceleração média e o ângulo que ela forma com o eixo |amédia| = raiz(-4,0)^2 = 4,0 , cm/s^2 .
Módulo:
é
Ângulo:
Como a aceleração está somente na direção negativa, o ângulo em relação ao eixo é .

Resposta

A aceleração média é é, com módulo de e formando um ângulo de com o eixo .

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