Um vendedor agendou duas visitas para vender enciclopédias. Sua primeira visita resultará em venda com probabilidade de 0,3 , e sua segunda visita resultará em venda com probabilidade de 0,6 , sendo ambas as probabilidades de venda independentes. Qualquer venda realizada tem a mesma probabilidade de ser do modelo luxo, que custa R 1000,00$, ou do modelo padrão que custa , ou do modelo padrão que custa 500,00$. Determine a função probabilidade de 500,00, o valor total das vendas em reais. Calcule a média e a variância.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um vendedor que vai fazer duas visitas para vender enciclopédias. Na primeira visita, a chance de vender alguma coisa é de 0,3 (ou seja, 30%), e na segunda visita, a chance é de 0,6 (60%). Essas probabilidades são independentes, ou seja, o que acontece em uma visita não afeta a outra.
Cada venda pode ser de um modelo luxo, que custa R$1000,00, ou de um modelo padrão, que custa R$500,00. Queremos descobrir como se comporta o valor total das vendas, que vamos chamar de 1000,00, ou de um modelo padrão, que custa R. Para isso, vamos determinar a função de probabilidade de X, calcular a média (esperança) e a variância dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possíveis combinações de vendas nas duas visitas. Cada visita pode resultar em venda ou não. Então, temos quatro cenários possíveis:
  1. Não vende nada nas duas visitas.
  2. Vende apenas na primeira visita.
  3. Vende apenas na segunda visita.
  4. Vende nas duas visitas.
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários.

Passo 3

Para calcular as probabilidades, usamos que os eventos são independentes. Então:
  • Não vender na primeira visita: 1 - 0,3 = 0,7
  • Não vender na segunda visita: 1 - 0,6 = 0,4
Agora, as probabilidades de cada cenário:
  1. Não vende em nenhuma visita: 0,7 times 0,4 = 0,28
  2. Vende apenas na primeira visita: 0,3 times 0,4 = 0,12
  3. Vende apenas na segunda visita: 0,7 times 0,6 = 0,42
  4. Vende nas duas visitas: 0,3 times 0,6 = 0,18

Passo 4

Agora, vamos determinar o valor total das vendas X para cada cenário. Lembrando que cada venda pode ser do modelo luxo (R$1000) ou padrão (R$500). Como a probabilidade de cada modelo é a mesma, ou seja, 50% para cada um, vamos calcular os possíveis valores de 1000) ou padrão (R:
  1. Nenhuma venda: X
  2. Uma venda:
    • Modelo padrão: R$500
    • Modelo luxo: R$1000
  3. Duas vendas:
    • Dois modelos padrão: R$500 + R$500 = R$1000
    • Um padrão e um luxo: R$500 + R$1000 = R$1500
    • Dois modelos luxo: R$1000 + R$1000 = R$2000

Passo 5

Vamos agora calcular as probabilidades para cada valor possível de X.
  1. X = 0: Já que não houve vendas, a probabilidade é 0,28.
  2. X = 500: Vendeu apenas na primeira ou apenas na segunda visita, e foi modelo padrão.
    • Probabilidade: 0,12 times 0,5 + 0,42 times 0,5 = 0,06 + 0,21 = 0,27
  3. X = 1000:
    • Vendeu apenas na primeira ou segunda visita e foi modelo luxo: 0,12 times 0,5 + 0,42 times 0,5 = 0,06 + 0,21 = 0,27
    • Ou vendeu nas duas visitas com dois modelos padrão: 0,18 times 0,25 = 0,045 (já que a chance de ambos serem padrão é 0,5 times 0,5 = 0,25)
    • Total: 0,27 + 0,045 = 0,315
  4. X = 1500: Vendeu nas duas visitas, um modelo padrão e um luxo.
    • Probabilidade: 0,18 times 0,5 = 0,09
  5. X = 2000: Vendeu nas duas visitas com ambos os modelos luxo.
    • Probabilidade: 0,18 times 0,25 = 0,045

Passo 6

Vamos resumir a função de probabilidade de X:
|c|c| hline X (R$) & P(X) hline 0 & 0,28 500 & 0,27 1000 & 0,315 1500 & 0,09 2000 & 0,045 hline

Passo 7

Agora, vamos calcular a média (esperança) de X. A média é dada por:
E[X] = sum X times P(X)
Calculando:
E[X] = 0 times 0,28 + 500 times 0,27 + 1000 times 0,315 + 1500 times 0,09 + 2000 times 0,045
E[X] = 0 + 135 + 315 + 135 + 90 = 675 R$

Passo 8

Para calcular a variância, primeiro encontramos E[X^2]:
E[X^2] = sum X^2 times P(X)
Calculando:
E[X^2] = 0^2 times 0,28 + 500^2 times 0,27 + 1000^2 times 0,315 + 1500^2 times 0,09 + 2000^2 times 0,045
E[X^2] = 0 + 250000 times 0,27 + 1000000 times 0,315 + 2250000 times 0,09 + 4000000 times 0,045
E[X^2] = 0 + 67500 + 315000 + 202500 + 180000 = 765000
Agora, a variância é:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 765000 - (675)^2 = 765000 - 455625 = 309375 R$^2

Resposta

A função de probabilidade de X, o valor total das vendas, é:
|c|c| hline X (R$) & P(X) hline 0 & 0,28 500 & 0,27 1000 & 0,315 1500 & 0,09 2000 & 0,045 hline
A média das vendas é de R$675,00 e a variância é de R$309.375,00².

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