Se, Y=|X-2|. Calcular a f.p da variável Y.

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que e precisamos calcular a função de probabilidade da variável . Isso significa que queremos descobrir como as probabilidades se distribuem para os diferentes valores que pode assumir. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de transformação de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é definido como o valor absoluto de . Isso significa que sempre será um número não negativo, já que o valor absoluto elimina qualquer sinal negativo. Então, pode ser zero ou positivo.

Passo 3

Agora, vamos reconhecer que para encontrar a função de probabilidade de , precisamos entender como os valores de se transformam em valores de . Vamos considerar dois casos distintos para :
  1. Quando
  2. Quando

Passo 4

Caso 1:
Se é maior ou igual a 2, então . Nesse caso, varia de 0 até positivo infinito, dependendo de quanto excede 2.
Caso 2:
Se é menor que 2, então . Aqui, também varia de 0 até 2, já que pode se aproximar de 2 por valores menores.

Passo 5

Para calcular a função de probabilidade de , vamos precisar da função de densidade de , digamos . A função de densidade de , , será influenciada por ambas as situações que consideramos:
  • Quando
  • Quando

Passo 6

A função de densidade de fY(y) = fX(2 + y) + fX(2 - y) será a soma das densidades de nos dois pontos que mapeiam para o mesmo . Matemáticamente, isso fica assim:
Isso porque tanto quanto resultam no mesmo valor de .

Passo 7

É importante notar que essa fórmula é válida para , já que é definido como um valor absoluto. Além disso, precisamos considerar o intervalo onde está definido para garantir que seja válido.

Passo 8

Finalmente, substituímos na fórmula com os valores específicos, se conhecermos a função de densidade de . Sem essa informação, nossa resposta fica na forma geral apresentada acima.

Resposta

A função de probabilidade da variável fY(y) = fX(2 + y) + fX(2 - y), para y >= 0 é dada por:

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