Um vendedor de lanche vende 80 unidades por dia cobrando 2,50 por unidade. Após anos de pesquisa, ele percebeu que a cada aumento de R$ 50 no preço da unidade, 10 clientes deixavam de comprar o lanche. Considerando somente as alternativas abaixo, ele terá maior lucro se vender cada unidade do lanche a

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um vendedor de lanche que vende 80 unidades por dia, cobrando R$2,50 por unidade. Ele descobriu que, para cada aumento de R$0,50 no preço, 10 clientes deixam de comprar. Nosso objetivo aqui é descobrir a que preço ele vai maximizar o lucro. Vamos precisar usar um pouco de matemática básica, especificamente funções lineares e encontrar o ponto de máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o preço e a quantidade vendida se relacionam. O preço inicial é de R$2,50 por unidade, com 80 unidades vendidas por dia. A cada aumento de R$0,50, a quantidade vendida diminui em 10 unidades. Vamos chamar o número de aumentos de “x”.
Então, o novo preço será:
2,50 por unidade, com 80 unidades vendidas por dia A cada aumento de R
E a nova quantidade vendida será:
P(x) = 2,50 + 0,50x

Passo 3

Agora, para encontrar o lucro, que é basicamente o preço vezes a quantidade vendida, a gente monta a função de lucro:
L(x) = P(x) times Q(x)
Substituindo:
L(x) = (2,50 + 0,50x) times (80 - 10x)

Passo 4

Vamos expandir essa expressão para facilitar a análise:
L(x) = 2,50 times 80 + 2,50 times (-10x) + 0,50x times 80 + 0,50x times (-10x)
L(x) = 200 - 25x + 40x - 5x^2
L(x) = -5x^2 + 15x + 200

Passo 5

Essa é uma função quadrática da forma $ ax^2 + bx + c $, onde $ a = -5 $, $ b = 15 $. Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza o lucro, usamos a fórmula do vértice:
ax^2 + bx + c
Substituindo os valores:
a = -5
b = 15
x

Passo 6

Agora que sabemos que o número ideal de aumentos é 1,5, vamos calcular o novo preço:
P(1,5) = 2,50 + 0,50 times 1,5
P(1,5) = 2,50 + 0,75
P(1,5) = 3,25

Resposta

O vendedor terá o maior lucro vendendo cada unidade do lanche a R$3,25.

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