Represente geometricamente a região cuja área é calculada pela expressão
A seguir, reescreva esta expressão utilizando como variável independente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representar geometricamente a região cuja área é calculada por uma expressão de integrais definidas e, depois, reescrever essa expressão utilizando como variável independente. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Integral, especificamente o cálculo de áreas entre curvas usando integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como interpretar integrais como áreas e como mudar a variável de integração de para .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão dada:
Isso representa a soma das áreas entre duas curvas em dois intervalos diferentes de : de 1 a 2 e de 2 a 4. As funções superiores e inferiores são dadas dentro de cada integral.

Passo 3

Vamos identificar as funções envolvidas em cada intervalo:
  • Intervalo de 1 a 2:
    • Função de cima:
    • Função de baixo:
  • Intervalo de 2 a 4:
    • Função de cima:
    • Função de baixo:
Essas funções representam as curvas entre as quais estamos calculando a área.

Passo 4

Para representar geometricamente a região, vamos esboçar as curvas:
  1. Para :
    • é uma parábola que abre para cima.
    • é uma hipérbole.
  2. Para :
    • é uma reta decrescente.
    • continua sendo a mesma hipérbole.
A região cuja área estamos calculando é a área entre essas curvas nos respectivos intervalos de .

Passo 5

Agora, vamos reescrever a expressão da área usando como variável independente. Isso significa que, ao invés de integrar em relação a , iremos integrar em relação a . Para isso, precisamos expressar em função de para cada função.
Vamos começar invertendo as funções:
  • Para , resolvendo para :
  • Para , resolvendo para :
  • Para , resolvendo para :

Passo 6

Agora, precisamos determinar os limites de integração em termos de . Para isso, identificamos os valores de correspondentes aos limites de originais.
  • Para o intervalo de a :
    • Quando :
    • Quando :
  • Para o intervalo de a :
    • Quando :
    • Quando :

Passo 7

Com isso, podemos reescrever as integrais em termos de :
  • Primeira integral (de a ):
  • Segunda integral (de a ):

Resposta

A expressão da área, utilizando como variável independente, fica:

Exercícios relacionados

Calcule a equação da reta tangente em sendo dados: em ;
Considere a região delimitada simultaneamente pelas curvas e .
(a) Obtenha a(s) integral(is) que permite(m) calcular o perímetro da região .
(b) Calcule o volume do sólido obtido quando a região é rotacionada em torno do eixo .
© Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região é rotacionada em torno da reta .
Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
(a) e ;
(b) e .
© e ;
(d) e ;
(e) e .
Verdadeiro ou contra-exemplo: convergem, então converge.