Represente geometricamente a região cuja área é calculada pela expressão
A=integral1^2[(2 x^2)-(2x)] d x+integral2^4[(62-15 x4)-(2x)] d x
A seguir, reescreva esta expressão utilizando y como variável independente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representar geometricamente a região cuja área é calculada por uma expressão de integrais definidas e, depois, reescrever essa expressão utilizando y como variável independente. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Integral, especificamente o cálculo de áreas entre curvas usando integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como interpretar integrais como áreas e como mudar a variável de integração de x para y.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão dada:
A=integral1^2[2 x^2 - 2x] dx + integral2^4[62 - 15 x4 - 2x] dx
Isso representa a soma das áreas entre duas curvas em dois intervalos diferentes de x: de 1 a 2 e de 2 a 4. As funções superiores e inferiores são dadas dentro de cada integral.

Passo 3

Vamos identificar as funções envolvidas em cada intervalo:
  • Intervalo de 1 a 2:
    • Função de cima: f(x) = 2x^2
    • Função de baixo: g(x) = 2x
  • Intervalo de 2 a 4:
    • Função de cima: f(x) = 62 - 15x4
    • Função de baixo: g(x) = 2x
Essas funções representam as curvas entre as quais estamos calculando a área.

Passo 4

Para representar geometricamente a região, vamos esboçar as curvas:
  1. Para 1 <= x <= 2:
    • f(x) = 2x^2 é uma parábola que abre para cima.
    • g(x) = 2x é uma hipérbole.
  2. Para 2 <= x <= 4:
    • f(x) = 62 - 15x4 é uma reta decrescente.
    • g(x) = 2x continua sendo a mesma hipérbole.
A região cuja área estamos calculando é a área entre essas curvas nos respectivos intervalos de x.

Passo 5

Agora, vamos reescrever a expressão da área usando y como variável independente. Isso significa que, ao invés de integrar em relação a x, iremos integrar em relação a y. Para isso, precisamos expressar x em função de y para cada função.
Vamos começar invertendo as funções:
  • Para f(x) = 2x^2, resolvendo para x:
    y = 2x^2 Rightarrow x = raizy2
  • Para g(x) = 2x, resolvendo para x:
    y = 2x Rightarrow x = 2y
  • Para f(x) = 62 - 15x4, resolvendo para x:
    y = 62 - 15x4 Rightarrow 15x = 62 - 4y Rightarrow x = 62 - 4y15

Passo 6

Agora, precisamos determinar os limites de integração em termos de y. Para isso, identificamos os valores de y correspondentes aos limites de x originais.
  • Para o intervalo de x = 1 a x = 2:
    • Quando x = 1: y = 2(1)^2 = 2 e y = 21 = 2
    • Quando x = 2: y = 2(2)^2 = 8 e y = 22 = 1
  • Para o intervalo de x = 2 a x = 4:
    • Quando x = 2: y = 62 - 15(2)4 = 62 - 304 = 324 = 8 e y = 22 = 1
    • Quando x = 4: y = 62 - 15(4)4 = 62 - 604 = 24 = 0.5 e y = 24 = 0.5

Passo 7

Com isso, podemos reescrever as integrais em termos de y:
  • Primeira integral (de y = 2 a y = 8):
    integral2^8 [raizy2 - 2y] dy
  • Segunda integral (de y = 0.5 a y = 8):
    integral0.5^8 [62 - 4y15 - 2y] dy

Resposta

A expressão da área, utilizando y como variável independente, fica:
A = integral2^8 (raizy2 - 2y) dy + integral0.5^8 (62 - 4y15 - 2y) dy

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