Represente geometricamente a região cuja área é calculada pela expressão
A seguir, reescreva esta expressão utilizando
como variável independente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representar geometricamente a região cuja área é calculada por uma expressão de integrais definidas e, depois, reescrever essa expressão utilizando
como variável independente. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Integral, especificamente o cálculo de áreas entre curvas usando integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como interpretar integrais como áreas e como mudar a variável de integração de
para
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão dada:
Isso representa a soma das áreas entre duas curvas em dois intervalos diferentes de
: de 1 a 2 e de 2 a 4. As funções superiores e inferiores são dadas dentro de cada integral.
Passo 3
Vamos identificar as funções envolvidas em cada intervalo:
-
Intervalo de 1 a 2:
- Função de cima:
- Função de baixo:
- Função de cima:
-
Intervalo de 2 a 4:
- Função de cima:
- Função de baixo:
- Função de cima:
Essas funções representam as curvas entre as quais estamos calculando a área.
Passo 4
Para representar geometricamente a região, vamos esboçar as curvas:
-
Para
: -
é uma parábola que abre para cima. -
é uma hipérbole.
-
-
Para
: -
é uma reta decrescente. -
continua sendo a mesma hipérbole.
-
A região cuja área estamos calculando é a área entre essas curvas nos respectivos intervalos de
.
Passo 5
Agora, vamos reescrever a expressão da área usando
como variável independente. Isso significa que, ao invés de integrar em relação a
, iremos integrar em relação a
. Para isso, precisamos expressar
em função de
para cada função.
Vamos começar invertendo as funções:
-
Para
, resolvendo para : -
Para
, resolvendo para : -
Para
, resolvendo para :
Passo 6
Agora, precisamos determinar os limites de integração em termos de
. Para isso, identificamos os valores de
correspondentes aos limites de
originais.
-
Para o intervalo de
a : - Quando
: - Quando
:
- Quando
-
Para o intervalo de
a : - Quando
: - Quando
:
- Quando
Passo 7
Com isso, podemos reescrever as integrais em termos de
:
-
Primeira integral (de
a ): -
Segunda integral (de
a ):
Resposta
A expressão da área, utilizando
como variável independente, fica:
Exercícios relacionados
Calcule a equação da reta tangente em
sendo dados:
em
;
Considere a região
delimitada simultaneamente pelas curvas
e
.
(a) Obtenha a(s) integral(is) que permite(m) calcular o perímetro da região .
(b) Calcule o volume do sólido obtido quando a região é rotacionada em torno do eixo
.
© Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região é rotacionada em torno da reta
.
(a) Obtenha a(s) integral(is) que permite(m) calcular o perímetro da região
(b) Calcule o volume do sólido obtido quando a região
© Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região
Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
(a) e
;
(b) e
.
© e
;
(d) e
;
(e) e
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Verdadeiro ou contra-exemplo:
convergem, então
converge.