Integrando a velocidade escalar ao longo do tempo, obtém-se a distância percorrida. Diante da afirmação, considere a velocidade de uma partícula que se move de um lado para o outro em um reta é , para qualquer tempo . Se o espaço, quando , determine o valor de quando , logo em seguida marque a alternativa correta: Considere:
  • = tempo em segundos;
  • = distância percorrida em metro.
    A. Quando segundos, o valor de é 1 m .
    B. Quando segundos, o valor de é 4 m .
    C. Quando segundos, o valor de é 8 m .
    D. Quando segundos, o valor de é 12 m .
    Quando segundos, o valor de é 16 m .

Passo 1

Vamos lá! A gente recebeu um exercício que fala sobre integrar a velocidade para encontrar a distância percorrida. A velocidade da partícula é dada por , e queremos saber qual é a distância percorrida quando segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrar a função de velocidade em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância percorrida pode ser encontrada integrando a velocidade em relação ao tempo. Matematicamente, isso fica:

Passo 3

Substituindo a função de velocidade que foi dada:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Como o espaço inicial quando , podemos encontrar o valor de .
Quando :

Passo 6

Então, a expressão completa para a distância fica:

Passo 7

Agora, vamos calcular quando segundos:
Sabemos que , então:

Resposta

A alternativa correta é:
A. Quando segundos, o valor de é 1 m.

Exercícios relacionados

Resolva a integral a seguir utilizando a técnica da integração por partes:
Verdadeiro (V) ou falso(F). Justifique sua resposta
b) ( ) Se f é uma função derivável em x=a então f é contínua em x=a
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A integral definida de em relação ao tempo resulta na posição , onde, é a velocidade instantânea e é a posição no tempo . Em termos matemáticos, você usa a integral da função de velocidade em relação ao tempo para encontrar a função de posição . Isso é particularmente útil quando a velocidade varia com o tempo, pois a integral leva em consideração essa variação.
Essa aplicação é comumente usada na resolução de problemas de cinemática em física e engenharia, onde é necessário calcular trajetórias, deslocamentos e posições de objetos em movimento com velocidade variável ao longo do tempo. Diante deste contexto, considere que uma partícula se move ao longo do eixo com uma função velocidade . Qual a distância percorrida pela partícula entre .