Verdadeiro V ou falso F, justifique sua resposta.
d) ( ) Se A^-1 A^T=I então a matriz A é simétrica

Passo 1

Vamos analisar um exercício de Álgebra Linear que nos pergunta se a afirmação “Se então a matriz é simétrica” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma matriz ser simétrica, como funciona a matriz inversa e a transposta .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz A = A^T é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja:
Isso significa que os elementos da matriz estão dispostos de forma que para todos e .

Passo 3

Também precisamos entender o que significa a matriz inversa A^-1 A = A A^-1 = I . A matriz inversa é aquela que, quando multiplicada pela matriz original , resulta na matriz identidade :
Isso é possível apenas se a matriz for não singular, ou seja, tiver determinante diferente de zero.

Passo 4

Agora, vamos considerar a hipótese do exercício:
A^-1 A^T = I
Queremos determinar se isso implica que é simétrica.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados da equação pela matriz A cdot A^-1 A^T = A cdot I à esquerda, temos:
(I) A^T = A
Simplificando o lado esquerdo:
A^T = A
Portanto:
Isso mostra que a transposta de é igual a mesma.

Passo 6

Com , concluímos que a matriz é simétrica por definição.

Resposta

Verdadeiro. Se , então a matriz é simétrica.

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