Verdadeiro ou falso , justifique sua resposta.
d) ( ) Se então a matriz A é simétrica
Passo 1
Vamos analisar um exercício de Álgebra Linear que nos pergunta se a afirmação “Se então a matriz é simétrica” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma matriz ser simétrica, como funciona a matriz inversa e a transposta .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja:
Isso significa que os elementos da matriz estão dispostos de forma que para todos e .
Passo 3
Também precisamos entender o que significa a matriz inversa . A matriz inversa é aquela que, quando multiplicada pela matriz original , resulta na matriz identidade :
Isso é possível apenas se a matriz for não singular, ou seja, tiver determinante diferente de zero.
Passo 4
Agora, vamos considerar a hipótese do exercício:
Queremos determinar se isso implica que é simétrica.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados da equação pela matriz à esquerda, temos:
Simplificando o lado esquerdo:
Portanto:
Isso mostra que a transposta de é igual a mesma.
Passo 6
Com , concluímos que a matriz é simétrica por definição.