Verdadeiro
ou falso
, justifique sua resposta.
d) ( ) Se
então a matriz A é simétrica
d) ( ) Se
Passo 1
Vamos analisar um exercício de Álgebra Linear que nos pergunta se a afirmação “Se
então a matriz
é simétrica” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma matriz ser simétrica, como funciona a matriz inversa
e a transposta
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja:
Isso significa que os elementos da matriz estão dispostos de forma que
para todos
e
.
Passo 3
Também precisamos entender o que significa a matriz inversa
. A matriz inversa é aquela que, quando multiplicada pela matriz original
, resulta na matriz identidade
:
Isso é possível apenas se a matriz
for não singular, ou seja, tiver determinante diferente de zero.
Passo 4
Agora, vamos considerar a hipótese do exercício:
Queremos determinar se isso implica que
é simétrica.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados da equação pela matriz
à esquerda, temos:
Simplificando o lado esquerdo:
Portanto:
Isso mostra que a transposta de
é igual a
mesma.
Passo 6
Com
, concluímos que a matriz
é simétrica por definição.
Resposta
Verdadeiro. Se
, então a matriz
é simétrica.