Verificar quais desses subconjuntos são subespaços vetoriais de M2(R), considerando as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
a) W=[cca & a+b a-b & b] rvert, a, b in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele deve satisfazer. Vamos dar uma olhada nas propriedades que devemos verificar para concluir se é ou não um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: Isso significa que a matriz nula (com todos os elementos iguais a zero) deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar duas matrizes quaisquer em e somá-las, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer matriz em por um número real (escala), o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto dado.

Passo 3

1. Verificar se 0 & 0 0 & 0 contém a matriz zero:

A matriz zero em a & a + b a - b & b = 0 & 0 0 & 0 é:
a = 0 a + b = 0 a - b = 0 b = 0
Vamos ver se existe e reais que satisfaçam:
[


]
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, vemos que e . Portanto, a matriz zero está em .

Passo 4

2. Verificar se A = a & a + b a - b & b e B = c & c + d c - d & d é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em A + B = a + c & (a + b) + (c + d) (a - b) + (c - d) & b + d = a + c & (a + c) + (b + d) (a + c) - (b + d) & b + d :
e & e + f e - f & f
A soma é:
Podemos notar que a soma também pode ser escrita na forma:
onde e . Como e são reais (soma de reais), a matriz está em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificar se A = a & a + b a - b & b é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em kA = k a & k(a + b) k(a - b) & k b = k a & k a + k b k a - k b & k b :
e & e + f e - f & f
E um escalar . A multiplicação de por é:
Podemos ver que também está na forma:
onde e . Como e são reais, pertence a . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto contém a matriz zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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Nos problemas a seguir, apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar o axioma que não se verifica.
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k(x1, y1)=(k^2 x1, k^2 y1)
Verificar quais desses subconjuntos são subespaços vetoriais de M2(R), considerando as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
b) W=[lla & 1 a & b] rvert, a, b in R
Nos problemas a seguir, apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar o axioma que não se verifica.
(b) R^2,(x1, y1)+(x2, y2)=(x1, y1)
k(x1, y1)=(k x1, k y1)