Verificar quais desses subconjuntos são subespaços vetoriais de , considerando as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele deve satisfazer. Vamos dar uma olhada nas propriedades que devemos verificar para concluir se é ou não um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se:
Contém o vetor zero: Isso significa que a matriz nula (com todos os elementos iguais a zero) deve estar em .
Fechado sob adição: Se você pegar duas matrizes quaisquer em e somá-las, o resultado também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer matriz em por um número real (escala), o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto dado.
Passo 3
1. Verificar se 0 & 0 0 & 0 contém a matriz zero:
A matriz zero em a & a + b a - b & b = 0 & 0 0 & 0 é: a = 0 a + b = 0 a - b = 0 b = 0
Vamos ver se existe e reais que satisfaçam:
[
]
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, vemos que e . Portanto, a matriz zero está em .
Passo 4
2. Verificar se A = a & a + b a - b & b e B = c & c + d c - d & d é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em A + B = a + c & (a + b) + (c + d) (a - b) + (c - d) & b + d = a + c & (a + c) + (b + d) (a + c) - (b + d) & b + d :
e & e + f e - f & f
A soma é:
Podemos notar que a soma também pode ser escrita na forma:
onde e . Como e são reais (soma de reais), a matriz está em . Portanto, é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificar se A = a & a + b a - b & b é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em kA = k a & k(a + b) k(a - b) & k b = k a & k a + k b k a - k b & k b :
e & e + f e - f & f
E um escalar . A multiplicação de por é:
Podemos ver que também está na forma:
onde e . Como e são reais, pertence a . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto contém a matriz zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .