Verificar quais desses subconjuntos são subespaços vetoriais de , considerando as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se o conjunto a & 1 a & b é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e subespaços vetoriais, verificando se satisfaz os critérios necessários.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que um subespaço vetorial deve cumprir três condições:
Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir a matriz zero.
Fechado sob adição: Se você somar duas matrizes do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: Contém o vetor zero. A matriz zero em 0 & 0 0 & 0 é: a & 1 a & b = 0 & 0 0 & 0
No conjunto , para termos a matriz zero, precisaríamos que:
[
]
Isso implica que e , mas o elemento na posição é sempre 1, o que nunca é zero. Portanto, a matriz zero não está no conjunto .
Passo 4
Como a primeira condição não é satisfeita, já podemos concluir que não é um subespaço vetorial de . Não é necessário verificar as outras condições, já que o subespaço precisa cumprir todas as três.
Resposta
O conjunto a & 1 a & b não é um subespaço vetorial de , pois não contém a matriz zero.