Nos problemas a seguir, apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar o axioma que não se verifica.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se um conjunto com certas operações de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. No caso, estamos trabalhando com o conjunto (todos os pares de números reais). As operações que temos são:
Adição:
Multiplicação por escalar:
Vamos precisar lembrar dos axiomas de espaço vetorial para verificar se essas operações satisfazem todas as regras necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos realizar adições e multiplicações por escalares que obedecem a certos axiomas, como associatividade, existência do elemento neutro (zero), existência de inversos, entre outros.
Passo 3
Vamos começar verificando o axioma da comutatividade da adição. Esse axioma diz que, para quaisquer vetores e , temos:
No nosso caso, a adição foi definida como:
Vamos ver se isso é comutativo. Por exemplo, se e :
e
Claramente, , então a adição não é comutativa.
Passo 4
Como a comutatividade da adição não é satisfeita, já podemos concluir que não é um espaço vetorial. Não precisa verificar os outros axiomas, já que basta um para a estrutura não ser um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial porque a adição não é comutativa, violando assim o axioma da comutatividade da adição.