Nos problemas a seguir, apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar o axioma que não se verifica.
(b) R^2,(x1, y1)+(x2, y2)=(x1, y1)
k(x1, y1)=(k x1, k y1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se um conjunto com certas operações de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. No caso, estamos trabalhando com o conjunto R^2 (todos os pares de números reais). As operações que temos são:
  • Adição: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1)
  • Multiplicação por escalar: k(x1, y1) = (k x1, k y1)
Vamos precisar lembrar dos axiomas de espaço vetorial para verificar se essas operações satisfazem todas as regras necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos realizar adições e multiplicações por escalares que obedecem a certos axiomas, como associatividade, existência do elemento neutro (zero), existência de inversos, entre outros.

Passo 3

Vamos começar verificando o axioma da comutatividade da adição. Esse axioma diz que, para quaisquer vetores u e v, temos:
u + v = v + u
No nosso caso, a adição foi definida como:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1)
Vamos ver se isso é comutativo. Por exemplo, se u = (1, 2) e v = (3, 4):
u + v = (1, 2)
e
v + u = (3, 4)
Claramente, (1, 2) neq (3, 4), então a adição não é comutativa.

Passo 4

Como a comutatividade da adição não é satisfeita, já podemos concluir que (R^2, +, cdot) não é um espaço vetorial. Não precisa verificar os outros axiomas, já que basta um para a estrutura não ser um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto R^2 com as operações definidas não é um espaço vetorial porque a adição não é comutativa, violando assim o axioma da comutatividade da adição.

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