Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
q)
;
q)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem para resolver:
Esse tipo de equação está dentro do conteúdo de EDOs de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis ou talvez encontrar uma expressão que nos permita simplificar a equação. Vamos passo a passo entender como fazer isso!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador da fração na equação. Olha só:
Numerador:
Podemos agrupar os termos de
e os termos constantes:
Denominador:
De novo, vamos agrupar:
Então, a equação fica assim:
Passo 3
Agora, vamos tentar separar as variáveis
e
. Para isso, podemos reescrever a equação multiplicando os denominadores e rearranjando:
Mas isso ainda não está totalmente separado. Então, vamos tentar rearranjar a equação para isolar
e
com as respectivas funções de
e
.
Passo 4
Vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
:
Agora conseguimos separar as variáveis! O lado esquerdo está só em termos de
e o lado direito só em termos de
.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da EDO.
Primeiro, integramos o lado esquerdo:
Podemos simplificar essa fração:
Então, a integral fica:
Agora, integramos o lado direito:
Também simplificamos essa fração:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, igualamos as duas integrais:
Podemos simplificar isso juntando as constantes:
Onde
é uma constante geral.
Resposta
A solução geral da EDO é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
m) ;
m)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
c) ;
c)
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
g) ;
g)
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
j) ;
j)