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Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
a)
;
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a relação dada
é uma solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) apresentada, que é
. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs exatas e como verificar se uma relação é solução delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO exata. Uma EDO na forma
é exata se existir uma função
tal que
e
. Se a EDO for exata, podemos encontrar uma solução
, onde
é uma constante.
No nosso caso, temos:
Vamos verificar se essa EDO é exata.
Passo 3
Para verificar a exatidão, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se são iguais:
Como
, a EDO é de fato exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a EDO é exata, podemos encontrar a função
tal que
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
. Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
. Portanto, a solução geral é:
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
Como
ainda é uma constante arbitrária, podemos renomear
para
.
Resposta
Sim, a relação
é uma solução geral da EDO
, porque ao seguir os passos de verificar a exatidão da EDO e integrar, chegamos exatamente a essa expressão como a solução geral.
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Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
i) ;
i)
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são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
f) ;
f)
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
d) ;
d)
Para
, calcule a derivada direcional em
na direção do mais rápido crescimento de f.