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Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
a) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a relação dada é uma solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) apresentada, que é . Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs exatas e como verificar se uma relação é solução delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO exata. Uma EDO na forma é exata se existir uma função tal que e . Se a EDO for exata, podemos encontrar uma solução , onde é uma constante.
No nosso caso, temos:
Vamos verificar se essa EDO é exata.

Passo 3

Para verificar a exatidão, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se são iguais:
Como , a EDO é de fato exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a EDO é exata, podemos encontrar a função tal que . Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de . Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de . Portanto, a solução geral é:
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
Como ainda é uma constante arbitrária, podemos renomear para .

Resposta

Sim, a relação é uma solução geral da EDO , porque ao seguir os passos de verificar a exatidão da EDO e integrar, chegamos exatamente a essa expressão como a solução geral.

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Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
i) ;
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
f) ;
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
d) ;
Para , calcule a derivada direcional em na direção do mais rápido crescimento de f.