Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
i)
;
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função
é uma solução geral da equação diferencial ordinária (EDO)
. Para isso, vamos precisar entender de EDOs de segunda ordem e como verificar se uma função é solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma solução geral de uma EDO homogênea associada (quando o lado direito é zero) inclui termos com constantes arbitrárias, como
e
. No nosso caso, a EDO não é homogênea porque tem
no lado direito. A função
inclui termos que provavelmente fazem parte da solução geral dessa EDO não homogênea.
Passo 3
Para verificar se
é realmente uma solução, precisamos substituir
e suas derivadas na EDO dada e ver se a igualdade se mantém. Ou seja, calculamos
e
, substituímos na equação e verificamos se o resultado é igual a
.
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos
,
e
na EDO
:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão:
- Primeiro, distribuímos o -2:
Passo 8
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
- Termos com
:
- Termos com
:
- Termos com
:
- Termos com
:
- Termos com
:
- Termos com
:
Passo 9
Após simplificar, a equação fica:
Isso não é igual a
, então a função
não satisfaz a EDO dada para qualquer valor de
e
.
Resposta
A função
não é uma solução geral da EDO
, pois, ao substituir na equação, a igualdade não se mantém.
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Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
f) ;
f)
Se
e
, determine
(b)
(b)
3
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
a) ;
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
a)
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
d) ;
d)