Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção de P a Q(2, 5).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede pra gente encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção de
a
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de gradiente e vetores de direção. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir a direção em que vamos calcular a derivada. Isso significa encontrar o vetor que vai de
até
.
O vetor direção
é dado por:
Agora, vamos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário na direção de
. A normalização é importante porque a derivada direcional usa um vetor de direção com magnitude igual a 1.
O comprimento de
é:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a
e
.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Em seguida, a derivada parcial de
em relação a
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Vamos agora avaliar o gradiente no ponto
. Primeiro, calculamos
nesse ponto:
Substituindo na expressão do gradiente:
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente no ponto
e o vetor unitário
na direção de
.
Isso fica assim:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador, se preferir:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
a
é:
Exercícios relacionados
Suponha que a função
, em que
é medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano
. Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto P?
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
j) ;
j)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
e) ;
e)
5
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;
Obter as soluções gerais das EDO de
a)