Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção de P a Q(2, 5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede pra gente encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção de a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de gradiente e vetores de direção. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir a direção em que vamos calcular a derivada. Isso significa encontrar o vetor que vai de até .
O vetor direção é dado por:
Agora, vamos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário na direção de . A normalização é importante porque a derivada direcional usa um vetor de direção com magnitude igual a 1.
O comprimento de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e .
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Em seguida, a derivada parcial de em relação a :
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Vamos agora avaliar o gradiente no ponto . Primeiro, calculamos nesse ponto:
Substituindo na expressão do gradiente:

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário na direção de .
Isso fica assim:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador, se preferir:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de a é:

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Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
j) ;
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
e) ;
5
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;